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Kategorie: pq-Formel Übungen Aufgabe: Quadratische Gleichung pq-Formel Übung 1 gegeben: x² + 4x - 21 = 0 Grundmenge = ℝ gesucht: x 1, x 2 Lösung: Quadratische Gleichung pq-Formel Übung 1 1. Schritt: Bestimmung von p und q p = 4 q = - 21 2. P-Q-Formel Aufgaben Übungen Herleitung zur PQ Formel. Schritt: pq-Formel: 3. Schritt: Lösungsmenge bestimmen x 1 = - 2 - 5 = - 7 x 2 = - 2 + 5 = + 3 ⇒ L = { -7; 3} Probe: Wir setzen für x 1 = - 7 und für x 2 = +3 ein! (x - x 1) • (x - x 2) = 0 (x - ( -7)) • (x - 3) = 0 ( x + 7) • (x - 3) = 0 x² + 7x - 3x - 21 = 0 x² + 4x - 21 = 0
Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform: $$x_1, 2=-p/2+-sqrt((p/2)^2-q)$$ kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager Wurzelsatz von VIETA Die Lösungen quadratischer Gleichungen in Normalform hängen nur von den beiden Zahlen $$p$$ und $$q$$ ab. Also muss ein direkter Zusammenhang zwischen den Zahlen $$p$$ und $$q$$ und den Lösungen $$x_1$$ und $$x_2$$ der Gleichungen bestehen. Pq formel übungen mit lösungen video. Diesen Zusammenhang findest du im Satz von VIETA. Herleitung des Satzes Hat die quadratische Gleichung $$x^2+p*x+q=0$$ die beiden Lösungen $$x_1$$ und $$x_2$$, dann kannst du sie mithilfe der Lösungsformel berechnen: $$x_1=-p/2+sqrt(p^2/4-q$$ und $$x_2=-p/2-sqrt(p^2/4-q$$. Bilde die Summe aus $$x_1$$ und $$x_2$$: $$x_1+x_2=-p/2+sqrt(p^2/4-q)+(-p/2-sqrt(p^2/4-q))$$ $$=-p/2+sqrt((p^2/4-q))-p/2-sqrt((p^2/4-q))=-p$$ Es gilt: $$x_1+x_2=-p$$ Bilde das Produkt aus $$x_1$$ und $$x_2$$: $$x_1*x_2=(-p/2+sqrt(p^2/4-q))*(-p/2-sqrt(p^2/4-q))$$ $$=(-p/2)^2-(root 2 (1/4p^2-q))^2=1/4p^2-1/4p^2+q=q$$ Es gilt: $$x_1*x_2=q$$ Beispiel Gleichung: $$x^2-4*x+3=0$$ $$p=-4$$ und $$q=3$$ Die Lösungen sind: $$x_1=3$$ und $$x_2=1$$ Du kannst mit dem Satz von Vieta prüfen, ob du die Lösungen richtig berechnest hast.
Hier ein Beispiel einer quadratischen Funktion und dem Schaubild der dazu gehörigen Parabel: Zu dieser Parabel gehört die Funktionsgleichung: Bei dieser Parabel können wir glücklicherweise die Nullstellen sogar ablesen. In der folgenden Rechnung können wir damit direkt prüfen, ob das berechnete Ergebnis richtig ist. Ihr seht die beiden Nullstellen bei x = 2 und x = 6. Wie lösen wir nun eine quadratische Gleichung? Pq formel übungen mit lösungen 1. Nehmen wir unsere Beispielfunktion mit der quadratischen Gleichung zur Bestimmung der Nullstellen: Hier die Lösungsschritte - ziel ist es, die quadratsche Gleichung in eine Form zu bringen, in der wir x nur noch in einer Klammer stehen haben, wie wir es von den binomischen Formeln kennen. Diese Vorgehensweise nennt man quadratische Ergänung. Wir erhalten eine vereinfachte Gleichung, die wir durch Wurzelziehen lösen können: Die Gleichung (x-4) zum Quadrat gleich 4 können wir intuitiv oder durch Ziehen der Wurzel lösen. In diesem Beispiel haben wir die Technik der quadratischen Ergänzung kennen gelernt.
Es gibt auch quadratische Gleichungen, die keine Lösung haben. Anschaulich betrachtet bedeutet das, dass eine Parabel keine Schnittpunkte mit der x-Achse hat. Das entscheidende ist der Term unter der Wurzel: 1. Ist dieser Term gleich Null, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösung. Die pq-Formel funktioniert und liefert 1 Lösung. 2. Ist dieser Ausdruck größer Null, können wir die Wurzel in der pq-Formel ziehen und wir erhalten 2 Lösungen. Die pq-Formel funktioniert. SchulLV. 3. Ist dieser Term kleiner Null, dürfen wir keine Wurzel ziehen, die Wurzel ist nicht definiert. Die pq-Formel liefert keine Lösung! Alle Schritte als PDF oder als Powerpoint-Folie im Download-Bereich mit online Zugang vorhanden!