In Teil 6 der komplexen Zahlen und den bisherigen Teilen zur Fourier-Reihe haben wir uns mit zeitabhängigen Sinus-Funktionen, also zeitlichen Schwingungen, beschäftigt. In diesem Teil soll es um räumliche Schwingungen gehen – in einer und mehr Dimensionen. Den Abschluss bilden dann harmonische Wellen, also Schwingungen, die sich mit der Zeit im Raum ausbreiten. Abb. 1 zeigt noch einmal eine sinusförmige Schwingung in der Zeit. Wir können sie uns als die Projektion eines rotierenden Zeigers vorstellen, dessen Winkel von der Zeit t abhängt. Zahlen und Maße - Vorbereitung auf die Zentralmatura - Handelsakademie, Handelsschule und Kolleg ibc hetzendorf. Abb. 1: eine sinusförmige Schwingung in der Zeit. Räumliche Schwingungen in 1D Wir könnten uns aber auch vorstellen, dass der Winkel des Zeigers nicht von der Zeit t, sondern vom Ort x abhängt. Wie Abb. 2 zeigt, ergibt die Projektion dann eine Sinus-Funktion entlang der x -Achse. Abb. 2: eine sinusförmige Schwingung entlang der x-Achse. Weiterlesen "Komplexe Zahlen, Teil 8 – räumliche Schwingungen und Wellen" In den bisherigen Teilen haben wir uns mit der Fourier-Analyse reeller Signale beschäftigt.
Dabei haben wir rotierende Zeiger unterschiedlicher Frequenzen addiert und die Projektion des Summenzeigers ergab unser zeitabhängiges Signal (s. Teil 1). Der Summenzeiger hat dabei recht komplizierte Kurven in der komplexen Ebene beschrieben (s. speziell Teil 2). In diesem Teil stellen wir nun die Frage, wie wir geschlossene, ebene Kurven in eine Summe von rotierenden Zeigern verwandeln können. Einfache Beispiele für solche Kurven sind Lissajous-Figuren wie in Abb. Zahlen und maße 5. 1 gezeigt. Wir betrachten dabei die Bahnkurve eines Punktes, dessen x – und y -Koordinaten allgemeine Sinus-Funktionen der Zeit t sind. Wenn der Quotient der beiden Frequenzen rational ist, sind die Bahnen geschlossen – und damit periodisch. Weiterlesen "Fourier-Reihen, Teil 9 – komplexe Signale und Kurven in der Ebene" In Teil 1 haben wir gesehen, dass die Addition von Sinussignalen unterschiedlicher Frequenzen wieder ein periodisches Signal ergibt, wenn alle Frequenzen ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind. Die Periodendauer des Summensignals ist dann.
Obwohl sich die Schönheit der rotierenden Zeiger nur in der komplexen Sichtweise zeigt, bevorzugen manche eine rein reelle Rechnung. Nicht zuletzt deshalb, weil die Fourier-Reihe in vielen Büchern so angegeben ist. Persönlich finde ich jedoch, dass die Sache dadurch nicht schöner wird. Weiterlesen "Fourier-Reihen, Teil 4 – rein reelle Berechnung des Spektrums" In den ersten beiden Teilen ( Teil 1 und Teil 2) haben wir rotierende Zeiger addiert, deren Frequenzen jeweils ganzzahlige Vielfache der Frequenz des langsamsten Zeigers waren. Die Projektion des Summenzeigers führt zu einer periodischen Funktion, mit einer Periodendauer, die gleich der Periode des langsamsten Zeigers ist. Zahlen und Maße (HTL2) - Mathe xy. Jetzt drehen wir die Sache um: Wir haben eine reelle, periodische Funktion s (das Signal; um nicht wieder f für die Funktion und die Frequenz zu verwenden), deren Periodendauer gleich T ist. Entsprechend ist ihre Grundfrequenz und die Grundkreisfrequenz. (Als Tauist verwende ich wie immer die Kreiskonstante. ) Dieses Signal s wollen wir als die Projektion der Summe rotierender Zeiger schreiben.
Der rote Summenzeiger läuft nicht mehr auf einem Kreis, sondern entlang einer Epizykloide. Weiterlesen "Fourier-Reihen, Teil 1 – Addition rotierender Zeiger"
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