Die Kubikwurzel erkennt man daran, dass der Wurzelexponent 3 ist. Sehen wir uns dazu einige einfache Beispiele an. Beispiel 1: Dritte Wurzel berechnen Sehen wir und einmal die dritte Wurzel (Kubikwurzel) aus 27 an und deren Begründung. Ebenfalls relativ einfach ist noch die Kubikwurzel aus 512 und die Überprüfung. Regel Kubikwurzel, n-te Wurzel: Es gibt eine allgemeine Regel zum Umgang mit Kubikwurzeln bzw. allgemein für die n-te Wurzel. Die Gleichung lautet: Beispiel 2: Wurzelgesetz Sehen wir uns noch ein Beispiel an wie man dieses Wurzelgesetz anwendet. Anzeige: Beispiel Dritte Wurzel berechnen In diesem Abschnitt werden weitere Beispiele zur dritten Wurzel behandelt. Dabei wird auch gezeigt wie man sich einem Ergebnis nähert. Beispiel 3: Kubikwurzel aus 64 In diesem Beispiel soll die Kubikwurzel aus 64 gezogen werden. Wir versuchen es zunächst mit der Zahl 4... und haben Glück. Die dritte Wurzel aus 64 ist 4. Beispiel 4: Kubikwurzel aus 100 Die dritte Wurzel aus 100 soll gezogen werden.
Das dürfte nicht so erlaubt sein (zumindest bei negativer Basis), weil ja indirekt eine Quadrierung stattfindet und damit die Verpfuschung des Vorzeichens. Als "in der realen Welt lebender" Mathematiker ist für mich die dritte Wurzel aus -27 definiert. nur in Gleichung kann x = -3 sein. Für Terme wie 3wur(-27) ist -3 nicht definiert. Nur 3wur(+27) = 3 ist erlaubt. Solange es keine Gleichung ist, sind Wurzeln immer positiv und Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es nicht ( außer man hat die komplexen Zahlen schon erlaubt) Das ist so festgelegt! PS: mit den komplexen Zahlen kommt das dieses raus Siehe dazu den Abschnitt Wurzeln aus negativen Zahlen in der Wikipedia. Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – LMU München, Dipl. Math., eigene Recherche Wurde vielleicht vorher eine Definitionsmenge für alle Argumente festgelegt?
Hallo erstmal, Bischer hatte ich gelernt, dass 3. Wurzel aus -27 definiert ist, also -3 ergibt, weil ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen immer eine Lösung haben. Aber meine Lehrerin meinte, dass man dritte Wurzel aus einer negativen Zahl schon rechnen kann, dennoch ist das nicht definiert. Sie meint, falls wir bei der Arbeit sowas sehen, müssen wir daneben "nicht definiert" schreiben. Ich verstehe es nicht wieso das "nicht definiert" sein soll? (Guckt das Bild bitte an, um zu verstehen, was ich meine) Das ist doch definiert, oder? Was sagt ihr dazu? Danke im Voraus Die n-te Wurzel aus x stellt dir die Frage: Welche Zahl a ergibt n-mal mit sich selbst multipliziert den Wert x unter der Wurzel? -3 * -3 * -3 = -27 Die Argumentation für "nicht definiert" folgt aus dem Widerspruch bei der folgenden Rechnung: -3 = (-27) 1/3 = (-27) 2/6 = ((-27) 2) 1/6 = 729 1/6 = +3 Als Mathematiker würde ich sagen, dass der Fehler hier bei der (eigentlich nicht zu erlaubenden) Umwandlung der Potenz 1/3 in 2/6 liegt.
Weil die dritte Wurzel eine Umkehrfunktion zur Potenz "hoch 3" ist, und die kann negative Zahlen ergeben. Beispiel: -4 3 = (-4) * (-4) * (-4) = -64. Damit ist die dritte Wurzel aus (-64) = -4 Bei der Quadratwurzel ist das nicht möglich, denn hier führt die Umkehrfunktion, quadrieren ("hoch 2") immer zu einer positiven Zahl: -4 2 = (-4) * (-4) = 16.
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Die n-te Wurzel ( n ≥ 2 n\geq2) einer Zahl a ∈ R 0 + a\in ℝ_0^+, bezeichnet als a n \sqrt[n]a ist diejenige Zahl, die man mit n potenzieren muss ( "hoch n nehmen") um a zu erhalten. Anders gesagt: Die Lösung der Gleichung x n = a x^n=a bezeichnet man als a n \sqrt[n]a. Zum Beispiel ist 27 3 = 3 \sqrt[3]{27}=3, denn 3 3 = 27 3^3=27. Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht zugelassen, da es für n n gerade die Gleichung x n = a x^n=a keine Lösung gibt, weil die gerade Potenz einer reellen Zahl nie negativ werden kann. Zwar gibt es für n n ungerade eine Gleichung x n = a x^n=a für negative a a, allerdings gelten dann die Potenzgesetze teilweise nicht mehr. z. B: − 1 4 \sqrt[4]{-1} ist nicht definiert, denn x 4 = ( x 2) 2 = − 1 x^4=\left(x^2\right)^2=-1 besitzt keine Lösung in den reellen Zahlen. B. − 2 = − 8 3 ≠ ( − 8) 2 6 = 64 6 = 8 3 = 2 -2\;=\;\sqrt[3]{-8}\;\neq\;\sqrt[6]{(-8)^2}\;=\sqrt[6]{64}\;=\;\sqrt[3]8\;=2 Im Falle n = 2 \mathrm n=2 spricht man von der Quadratwurzel und schreibt statt a 2 \sqrt[2]a einfach a \sqrt a.
Was ist was bei der n-ten Wurzel? Das n n nennt man Wurzelexponent. Das x x nennt man Radikand. x n \sqrt[n]x nennt man einen Wurzelterm oder auch eine n-te Wurzel. Beispiele 125 3 = 5 \def\arraystretch{1. 25} \begin{array}{l}\sqrt[3]{125}=5\end{array}, denn 5 3 = 125 5^3=125. − 3 4 \sqrt[4]{-3} ist nicht definiert, denn x 4 = ( x 2) 2 = − 3 x^4=\left(x^2\right)^2=-3 besitzt keine Lösung in den reellen Zahlen. 48 4 = 3 4 ⋅ 2 \sqrt[4]{48}=\sqrt[4]3\cdot2, denn 48 = 3 ⋅ 16 48\;=\;3\;\cdot\;16, wobei 2 4 = 16 \def\arraystretch{1. 25} \begin{array}{l}2^4\;=\;16\end{array} und 3 4 \sqrt[4]3 sich nicht vereinfachen lässt. Rechenregeln Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4. 0. → Was bedeutet das?
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