Download Rekonstruktion von (ganzrationalen) Funktionen... Gymnasium "Am Thie" Blankenburg Rekonstruktion von (ganzrationalen) Funktionen Bei der Rekonstruktion von Funktionen versucht man immer, aus der Kenntnis bestimmter Eigenschaften der Funktion den Funktionsterm zu ermitteln. Grundlegende Strategie für die Lösung solcher Aufgaben: 1) Bestimmen des höchsten Grades des Funktionsterms und notieren des allgemeinen Funktionsterms, z. B. lautet die Aufgabe …eine ganzrationale Funktion 3. Grades… f ( x) ax 3 bx 2 cx d Ziel ist es jetzt immer, die Parameter für diese Funktion zu finden, im Beispiel also a, b. c und d zu ermitteln. 2) Bestimmen der notwendigen Ableitungen des allgemeinen Funktionsterms, in unserem Beispiel also: f ( x) 3ax 2 2bx c und f ( x) 6ax 2b In seltenen Fällen wird auch noch die 3. Rekonstruktion von funktionen pdf free. Ableitung benötigt. 3) Jetzt sehen wir uns die Parameter an, in unserem Beispiel haben wir insgesamt 4, wir benötigen dabei für jeden Parameter eine Aussage für die Rekonstruktion.
Wie heißt die Funktionsgleichung? Lösung: f ( x) x 3 9 x 2 24 x 10 Rekonstruktion von (ganzrationalen) Funktionen 9) Vom Graphen einer ganzrationalen Funktion 4. Grades sind folgende Merkmale bekannt: Sie besitzt bei x = 0 einen Sattelpunkt und bei x = 2 eine lokale Extremstelle, im Punkt P(1/-0, 5) besitzt sie eine Tangente mit dem Anstieg m = -6. Wie heißt die Funktionsgleichung? Lösung: f ( x) 1, 5 x 4 4 x 3 2 Für später (nach der Integralrechnung) 10)Eine ganzrationale Funktion 3. Römische Königszeit – Wikipedia. Grades geht durch den Ursprung, hat bei x = 1 ein Maximum und bei x = 2 eine Wendestelle. Ihr Graph schließt mit der xAchse über dem Intervall [0;2] eine Fläche mit dem Inhalt 6 ein. Um welche Funktion handelt es sich? Lösung: f ( x) x 3 6 x 2 9 x 11)Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt und geht durch den Punkt P(1/3). Ihr Graph schließt mit der x-Achse über dem Intervall [0;1] eine Fläche mit dem Inhalt 1 ein. Um welche Funktion handelt es sich? Lösung: f ( x) 2 x 3 x 12)Eine ganzrationale Funktion 2.
Wir benötigen 5 Bedingungen, wenn wir ein Polynom 4. Grades (da 3 Extrema vorliegen) verwenden, dass f in O(0; 0) einen Tiefpunkt (TP) und in E(2; 4) einen Hochpunkt (HP) hat. Damitbenötigen wir eine 5. Bedingung und hier verwenden wir, dass an der Stelle x 4 ein Tiefpunktvorliegt. f ist nicht symmetrisch zur y‐Achse! Ansatzfunktion: f(x) ax4 bx3 cx2 dx eWir benötigen nur die erste Ableitung (da wir keine Wendepunkte verwenden):f (x) 4ax3 3bx2 2cx d (1) f(0) 0, da der Graf durch O(0; 0) verläuft. (2) f '(0) 0, wegen dem TP an der Stelle x 0. (3) f(2) 4, da der Graf durch E(2; 4) verläuft. (4) f (2) 0, da an der Stelle x 2 ein HP vorliegt. „Übersetzungstabelle“ für Bedingungen der Rekonstruktion. (5) f (4) 0, da bei x 4 ein TP ergeben sich die Gleichungen:(1) 04a 03b 02c 0d e 0(2) 4 03a 3 02b 2 0c d 0(3) 24a 23b 22c 2d e 4(4) 4 23a 3 22b 2 2c d 0(5) 4 43a 3 42b 2 4c d 0‹e 0‹d 0‹ 16a 8b 4c 2d e 4‹ 32a 12b 4c d 0‹ 256a 48b 8c d 0Wir setzen d 0 und e 0 in die Gleichungen (3) bis (5) ein:(3) 16a 8b 4c 4(4) 32a 12b 4c 0(4) 256a 48b 8c 0Nun eliminieren wird c:(6) (3) – (4):‐16a – 4b 4(7) 2 (3) – (5): ‐224a – 32b 8((3) – (4) heißt, wir subtrahieren (4) von (3))Wir eliminieren b:(8) ‐8 (6) (7): ‐96a ‐24Wir erhalten a 1/4.
Wir subtrahieren (4) von (3) und erhalten (5), was wir mit (2) addieren können, da « zufällig » die Faktoren vor b ohne weitere Multiplikation die Anwendung desAdditionsverfahrens ermöglichen:(5) (3) – (4): ‐15a – 2b ‐3(2): 12a 2b 0 ()‐3a ‐3Damit ist a 1. Dies setzen wir in (2) ein und erhalten 12 2b 0, womit b ‐6 ist. Nun setzten wiralles in (4) ein und erhalten 27 6 (‐6) c 0, womit c 9 ist. Mit (1) erhalten wir8 4 (‐6) 2 9 d 0, womit d ‐2 ist und somit erhalten wir f(x) x3 – 6x2 9x – fgabe 4:Ansatz: f(x) ax3 bx2 cx dDa ein Sattelpunkt bzw. Rekonstruktion von funktionen pdf video. Wendepunkt gegeben ist, brauchen wir die zweite Ableitung:f (x) 3ax2 2bx cf (x) 6ax 2b (1) f(‐2) 3, da der Graph durch S(‐2; 3) verläuft. (2) f (‐2) 0, da bei x ‐2 ein Wendepunkt vorliegt. (3) f (‐2) 0, da im Sattelpunkt eine waagrechte Tangente vorliegt. (4) f(0) 7, da bei y ‐4 die y‐Achse geschnitten ergeben sich die Gleichungen:(1) (‐2)3a (‐2)2b – 2c d 3(2) 6 (‐2)a 2b 02(3) 3 (‐2) a 2 (‐2)b c 0 7(4) 03a 02b 0c d‹‹‹‹‐8a 4b – 2c d 3‐12a 2b 012a – 4b c 0d 7An Gleichung (1) sehen wir, dass sich bei x3 und x (bei den ungeraden Exponenten) mit negativem xnatürlich negative Koeffizienten ergeben (zur Kontrolle).
Grades mit einer Nullstelle bei x = 1, deren Maximum auf der y-Achse liegt, schließt mit den beiden Koordinatenachsen im 1. Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt 1 ein. Um welche Funktion handelt es sich? 3 3 Lösung: f ( x) x 2 2 2 13)Eine ganzrationale Funktion 4. Rekonstruktion von funktionen pdf en. Grades mit einer Nullstelle bei x = 4 hat im Ursprung einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Sie schließt mit der x-Achse im 1. Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt 6, 4 ein. Um welche Funktion handelt es sich? 1 1 Lösung: f ( x) x 4 x 3 8 2
Um zu verhindern, dass sich in der Schilddrüse genau dieser Stoff anreichert, sollte zum richtigen Zeitpunkt nicht-radioaktives Jod in Form einer hochdosierten Tablette aufgenommen werden. Man spricht von der sogenannten Jodblockade. Jodtabletten zur Schilddrüsenblockade sollten nur nach ausdrücklicher Aufforderung durch die zuständigen Behörden eingenommen werden.
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