124 Aufrufe Aufgabe: Winkel zwischen zwei Vektoren Vektor A: \( \begin{pmatrix} -6\\1\\10 \end{pmatrix} \) Vektor B: \( \begin{pmatrix} 7\\10\\-4 \end{pmatrix} \) Problem/Ansatz: Gebe ich die Aufgabe in einem Online Vektoren Rechner ein, bekomm ich den Winkel 61, 387°. Bei der Berechnung die ich nach der Formel von einer meiner Vorlesung habe, bekomm ich 118, 6° raus. Ich weiß, dass wenn ich 180°-61, 387° = 118, 6°, aber wieso bekomm ich nicht den 61° Winkel und welcher ist nun der richtige Winkel zwischen den Vektoren, weil wenn ich mir die Winkel der Vektoren manuell anschaue, finde ich auch keinen 61° Winkel nur größere, Hab als Online Rechner den hier verwendet: Und die Formel die uns von der Uni gegeben war ist folgende: Vektor A * Vektor B = Länge Vektor A * Länge Vektor B * cos(Phi) Gefragt 3 Nov 2020 von
Dieser Rechner ermittelt den Winkel zwischen zwei Vektoren a und b mithilfe der folgenden Formel: Winkel zwischen Vektor a und Vektor b = (a · b) / (| a | * | b |) wobei (a · b) das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist, a ist die Größe des Vektors a und b ist die Größe des Vektors b. Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu ermitteln, geben Sie einfach die (x, y, z)-Koordinaten für beide Vektoren unten ein und klicken Sie dann auf die Schaltfläche "Berechnen". Vektor a x y z Vektor b Winkel zwischen Vektoren: 0. 80994502 Erläuterung: Skalarprodukt (a · b) = 49. 00000 Größe des Vektors _a_ a = 11. 04536 Größe des Vektors _b_ b = 5. 47723 (a · b) / (| a | * | b |) = 49. 00000 / ( 11. 04536 * 5. 47723) = 0. 80994502
Winkel zwischen zwei Vektoren Der Winkel α \alpha zwischen zwei Vektoren a ⃗ \vec{a} und b ⃗ \vec{b} berechnet sich aus dem Quotienten des Skalarprodukts und dem Produkt aus den Beträgen (Längen) von a ⃗ \vec{a} und b ⃗ \vec{b}. Der Winkel zwischen zwei Vektoren kann Werte zwischen 0° und 180° annehmen. Winkel zwischen zwei Geraden Der Schnittwinkel ϕ \phi zwischen zwei Geraden entspricht dem Winkel zwischen den jeweiligen Richtungsvektoren a ⃗ \vec a und b ⃗ \vec b. Jedoch haben Geraden höchstens einen Schnittwinkel zwischen 0° und 90°. Diesen Wertebereich erreicht man, wenn man im Zähler den Absolutbetrag des Skalarproduktes nimmt. Bemerkung: Im Zähler und Nenner sind verschiedene Beträge gemeint. Im Zähler ist es der Betrag einer Zahl (eines Skalars) und im Nenner der Betrag eines Vektors, also seine Länge. Winkel zwischen zwei Ebenen Der Schnittwinkel ϕ \phi zwischen zwei Ebenen entspricht dem Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren n ⃗ 1 \vec{n}_1 und n ⃗ 2 \vec{n}_2. Die Berechnung ist dann wieder wie bei den Geraden: Winkel zwischen Gerade und Ebene Diesmal verwendet man den Richtungsvektor a ⃗ \vec a der Gerade und den Normalenvektor der Ebene n ⃗ \vec{n}.
Hier als Nebenbemerkung: minus 2 Quadrat könnten wir auch gleich als 2 Quadrat schreiben, weil ja das negative Vorzeichen durch das Quadrieren wegfällt. Hier aber der Vollständigkeit halber noch hinzugefügt. Werde ich nicht immer machen. Hier ist es einfach noch dabei. Und das ergibt dann die Wurzel 14. Wir brauchen jetzt insgesamt das Produkt aus diesen beiden Beträgen, nämlich Produkt A Betrag mit B Betrag. Und hier ergibt sich eine Wurzel 126 mal Wurzel 14. Natürlich lassen sich die beiden Wurzel zusammenführen und hier eine Wurzel 126 mal 14 schreiben. Und wenn wir das ausmultiplizieren und die Wurzel ziehen, landen wir bei einem schönen Ergebnis, aus dem man auch die Wurzel ziehen kann, nämlich 42. Einsetzen Und damit können wir jetzt in unsere Formel hier oben für das Skalarprodukt hineingehen, umformen auf Cosinus Gamma und können damit den Winkel Gamma bestimmen. Ich habe sie Gleichung (1) genannt, also aus der Gleichung (1) umgeformt auf Cosinus Gamma haben wir dann skalar A in B dividiert durch die Beträge der beiden Vektoren A und B Produkt daraus.
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