Nun ich habe folgendes Problem: Ich muss eine hypergeometrische Verteilung berechnen! Angabe sieht so aus: H( N= 500, M= 65, n= 25) P(X>4) =? Lösung: P(X>4) = 41, 3% Hier ist die Rekursionsformel zu verwenden! Da ich aber jetzt nicht jeden einzelnen Punkt berechnen möchte, sondern mit dem Taschenrechner Texas Instrument TI 84- Plus, würde ich gern von euch wissen, wie ich das ganze mit dem Taschenrechner berechnen kann!? Denn P(X=4) ist ja noch händisch nicht so aufwendig, aber was ist wenn ich mal ne größere Zahl berechnen muss. Da würde ich in hundern Jahren nicht fertig. Also bitte ich euch mir zu sagen, wie ich dieses Beispiel am Taschenrechner berechnen kann!
Hier ist \(M=5\), die Anzahl der weißen Kugeln. \(n\), die Anzahl der Kugeln, die als Stichprobe gezogen wird. Hier ist \(n=4\). Wenn wir unser Beispiel mit der Zufallsvariablen \(X\) beschreiben, sieht die hypergeometrische Verteilung wie folgt aus: \[ X \sim \text{HG}(15, 5, 4) \] Träger Die hypergeometrische Verteilung hat denselben Träger wie die Binomialverteilung: Wenn man \(n=4\) Kugeln zieht, sind 0 bis 4 Erfolge möglich. Allgemein ist also \[ \mathcal{T} = \{ 0, 1, \ldots, n \} \] Dichte Die Dichte einer hypergeometrisch verteilten Zufallsvariable \(X\) lautet \[ f(x) = \frac{{M \choose x} {N-M \choose n-x}}{N \choose n} \] In unserem Beispiel ist also die Wahrscheinlichkeit, bei 4 gezogenen Kugeln 2 weiße Kugeln darunter zu finden, gleich \[ f(2) = \frac{{5 \choose 2} {15-5 \choose 4-2}}{15 \choose 4} = 0. 3297 \] Die Dichte \(f(x)\) für die hypergeometrische Verteilung unseres Beispiels. Beachte hier, dass die Werte \(N\), \(M\) und \(n\) das Experiment beschreiben, und dann (gegeben einem Experiment) nicht mehr verändert werden.
Man muss also auch hier alle möglichen Wahrscheinlichkeiten der Ausprägungen aufsummieren F(x)=P(X≤x)= Erwartungswert Hypergeometrische Verteilung Der Erwartungswert der lässt sich relativ leicht berechnen. Man erhält ihn wie auch bei der Binomialverteilung, indem man den anfänglichen Anteil an Treffern, also M geteilt durch N, mit der Anzahl an Ziehungen multipliziert: E(X)= n * Die Formel für die Varianz ist etwas komplizierter, aber auch nicht sonderlich schwierig zu berechnen. V(X)= n* Hypergepmetrische Verteilung Beispiel im Video zur Stelle im Video springen (00:23) Im Normalfall werden Zufallsexperimente betrachtet, bei denen es nur zwei Arten von Kugeln beziehungsweise Möglichkeiten gibt. Ein ausführliches Beispiel zu solchen Ziehungen ohne Zurücklegen findest du in unserem passenden Video zu Urnenmodellen. Hier spielt die Binomialverteilung eine zentrale Rolle. Mit der hypergeometrischen Verteilung können wir aber auch die Wahrscheinlichkeit für mehrere unterschiedliche Elemente berechen.
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Hypergeometrische Verteilun g zu finden.
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