Teile den Kreis mithilfe eines Lineals in acht Dreiecke und markiere diese mit einem Bleistift. 2. Pappvorlage in Stücke teilen Fertig ist die Pappvorlage zum Ketten selber machen. (Foto: Gilbrich) Schneide die acht Linien mithilfe der vorgezeichneten Markierungen bis zur Hälfte ein. Stich mit der Schere ein Loch in die Mitte der Pappe. selber machen: Fäden flechten Nun kann das Flechten der Kette beginnen. (Foto: Gilbrich) Bereite nun sieben etwa gleich lange Wollfäden vor. Sie sollten für deine Kette jeweils mindestens einen Meter lang sein. Ziehe die Fäden durch das Loch der Pappe. Verbinde die Fäden unter der Pappe mit einem Doppelknoten. Ziehe jeden einzelnen Faden durch einen der acht Schlitze. Einer der Schlitze bleibt letztendlich frei. So knüpfst du die Kette: Halte den freien Schlitz unten und ziehe im Uhrzeigersinn immer den dritten Faden durch den leeren Schlitz. Kette zeichnen einfach zu. Fädel den Faden immer über die vordere Seite der Pappe. Achte darauf, dass du die Fäden dabei wieder gerade herunterziehst, damit sich die Fäden nicht verheddern.
Französisch Robert FERRÉOL (mathcurve) CHAÎNETTE Referenzen top (1) Georg Ulrich, Paul Hoffmann: Differential- und Integralrechnung zum Selbstunterricht, Hollfeld [ISBN 3 8044 0575 4] (2) Autorengemeinschaft: Analysis für Ingenieure, Frankfurt/M Zürich 1966 Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite URL meiner Homepage: © 2009 Jürgen Köller top
Das erreicht man durch eine Maßstabänderung. Man wählt x=aX und y=aY. Dann wird y=(1/2)a[e (1/a)x +e -(1/a)x] zu aY=(1/2)a[e (1/a)aX +e -(1/a)aX] oder Y=(1/2)[e X +e -X]. Aus jeder Kettenlinie mit f a (x)=a*cosh(x/a) wird also eine Normal-Kettenlinie. Ableitung Wegen der Grundformel (e x)'=e x ist cosh(x) leicht zu differenzieren und zu integrieren....... Es ist f(x)=cosh(x)=(1/2)(e x +e -x)=(1/2)e x +(1/2)e -x. Nach Ableitungsregeln ist dann f '(x) = (1/2)e x -(1/2)e -x = (1/2)(e x -e -x) Man fasst den Term (1/2)(e x -e -x) als Funktionsterm einer neuen Funktion auf, dem Sinus Hyperbolicus: g(x)=sinh(x). Die rote Kurve ist ihr Graph. Wie einen Hund an einer Kette zu zeichnen. Leitet man f ' noch einmal ab [f ''(x) = (1/2)(e x +e -x)], so ergibt sich wieder f(x)=cosh(x). Die Stammfunktion ist F(x)=sinh(x). Drei Berechnungen - ein Ergebnis top 1 Steigung in Punkt P...... Oben wurde schon gezeigt, dass die Ableitung von f(x)=cosh(x) gleich f '(x)=sinh(x) ist. Die Steigung in Punkt P[x 1)|cosh(x 1)] ist also sinh(x 1). 2 Länge s des Kurvenstücks SP 3 Flächeninhalt unter der Kurve Veranschaulichungen......
Es ist y=(1/2)(e x +e -x). Dann ist y²-1=cosh²(x)-1=(1/4)(e x +e -x) 2 -1=(1/4)e 2x +1/2+(1/4)e -2x)-1=(1/4)(e x -e -x)²=s² Die Gleichung y²-1²=s² wird links durch ein Dreieck dargestellt, indem man die Strecke des y-Wertes in den ersten Quadranten einpasst. Ausgehend vom Dreieck kann man sich Folgendes überlegen. Quelle: Buch (1), Seite 526. Da wird auch gezeigt, dass die Veranschaulichungen für alle Funktionen der Schar f a (x)=a*cosh(x/a) gelten. e^(ix)=cos x+ i sin x. Darum muss es folgendermaßen weitergehen: e^(ix)+e^(-ix)= cos x+ i sin x + cos x -i sin x= 2 cos x Also cos x= cosh (ix). mit dem Argument ix für x folgt cos(ix)=cosh(i^2x)=cosh(-x)=cosh(x), da letztere Fkt gerade ist. Beziehung zu den Kreisfunktionen Es stellt sich die Frage, warum die Kettenlinie mit cos h und die Ableitung mit sin h bezeichnet werden. Da muss man den Bereich der reellen Zahlen verlassen und zu komplexen Zahlen übergehen. Kette zeichnen einfach sparsam. Die eulersche Formeln e ix =cos(x)+i*sin(x) bzw. e -ix =cos(x)-i*sin(x) mit i=sqrt(-1) geben eine Erklärung.
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