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Schnittgerade zweier Ebenen in Koordinatenform berechnen - YouTube
Worum geht es hier? Hier kannst du den Schnittpunkt einer Gerade und einer Ebene berechnen, falls es ihn gibt. Schneiden sich eine Gerade und eine Ebene immer? Nein. Schnittpunkt Gerade Ebene • einfach berechnen in 3 Schritten · [mit Video]. Es gibt drei Möglichkeiten: Die Gerade könnte die Ebene in einem Punkt schneiden. Die Gerade könnte aber auch parallel zur Ebene verlaufen. Oder sie könnte komplett in der Ebene liegen. Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene? Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 1) +r ( 2) 0 1 2 -3 und E: x= ( 4) +r ( 1) +s ( 2) 1 3 3 2 -2 1 Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen... ): ( 1) +r ( 2) = ( 4) +s ( 1) +t ( 2) 0 1 1 3 3 2 -3 2 -2 1 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 1 +2r = 4 +s +2t 0 +r = 1 +3s +3t 2 -3r = 2 -2s +t So formt man das Gleichungssystem um: 2r -1s -2t = 3 r -3s -3t = 1 -3r +2s -1t = 0 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
dritte Zeile: 0u = 1 Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie 1 ist. Also gibt es keine Schnittpunkte. Und wie bekomme ich nun heraus, ob meine Ebenen sich schneiden? Einfach oben eingeben und nachrechnen lassen.
Worum geht es hier? Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Ebenen darzustellen. Die Parameterform besteht aus einem Stützvektor und zwei Richtungsvektoren der Ebene. Die Normalenform besteht aus einem Stützvektor und einem Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Die Koordinatenform ist eine Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen den Koordinaten von Punkten auf der Ebene aufzeigt. Wie rechnet man von Parameterform in Normalenform um? Schnitt von zwei Ebenen online berechnen. Normalenform von E: x= ( 3) +r ( 5) +s ( 2) 4 1 4 2 4 4 soll bestimmt werden Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen × = ( 1⋅4-4⋅4) 4⋅2-5⋅4 5⋅4-1⋅2 = Wie rechnet man von Normalenform in Koordinatenform um? Wie rechnet man von Koordinatenform in Parameterform um? Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben: E: x= ( 0) +r ( 1) +s ( 0) 0 0 1 3 -4 2 Wie kann ich meine Ebene umrechnen? Gib eine Form der Ebenengleichung oben in unseren Rechner ein und Mathepower berechnet die anderen beiden.
Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 1) +r ( 1) 3 0 4 1 und g: x= ( 2) +r ( 1) 4 3 5 2 Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig. ): ( 1) +r ( 1) = ( 2) +s ( 1) 3 0 4 3 4 1 5 2 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 1 +r = 2 +s 3 = 4 +3s 4 +r = 5 +2s Das Gleichungssystem löst man so: r -1s = 1 -3s = 1 r -2s = 1 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. ) r -1s = 1 -3s = 1 -1s = 0 ( das -1-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert) r -1s = 1 -3s = 1 0 = -0, 33 ( das -0, 33-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert) dritte Zeile: 0s = -0, 33 Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie -0, 33 ist. Es gibt keine Schnittpunkte. Schnittgeraden von Ebenen jetzt berechnen leicht gemacht. Also sind die Geraden windschief. Wie rechnet man nach, dass zwei Geraden parallel sind? Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 1) +r ( 2) 3 0 4 6 und g: x= ( 2) +r ( 3) 5 0 2 9 Die Richtungsvektoren sind linear abhängig: 1, 5⋅ = Also sind die Geraden entweder identisch oder parallel. Weiterer Lösungsweg: Stützvektor der hinteren Geraden in die vordere Gerade einsetzen.
Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform Ist uns die Ebenengleichung in Koordinatenform gegeben, so können wir mit folgenden Schritten die Parameterform bestimmen: Gegebene Ebenengleichung in Koordinatenform: 1·x - 1·y + 4·z = -4 Stellen wir die Gleichung zuerst nach z um: 4·z = -4 + 1·x + 1·y z = -1 + (-0, 25)·x + 0, 25·y Rechenweg Variante A: Über 3 beliebige Punkte Diese Gleichung können wir nun verwenden, um die einzelnen Vektoren für die Ebenengleichung aufzustellen (oder Parameter direkt ablesen).
Das Gleichungssystem wird nicht aufgehen, siehe Beispiel. Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 2) +r ( 1) 3 0 1 3 und E: x= ( 3) +r ( 2) +s ( 3) 4 0 0 1 1 4 Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen... ): ( 2) +r ( 1) = ( 3) +s ( 2) +t ( 3) 3 0 4 0 0 1 3 1 1 4 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 2 +r = 3 +2s +3t 3 = 4 1 +3r = 1 +s +4t Das Gleichungssystem löst man so: r -2s -3t = 1 0 = 1 3r -1s -4t = 0 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. ) r -2s -3t = 1 0 = 1 5s +5t = -3 ( das -3-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert) r -2s -3t = 1 5s +5t = -3 0 = 1 ( die dritte Zeile wurde mit der zweiten Zeile vertauscht) dritte Zeile: 0t = 1 Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie 1 ist. Also gibt es keine Schnittpunkte. Die Gerade ist parallel zu der Ebene. Wie sieht man, dass die Gerade in der Ebene liegt? Das Gleichungssystem hat viele Lösungen und eine Variable ist frei wählbar. Beispiel: Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 3) +r ( 1) 2 7 4 3 und E: x= ( 4) +r ( 2) +s ( -1) 9 6 1 7 1 2 Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen... ): ( 3) +r ( 1) = ( 4) +s ( 2) +t ( -1) 2 7 9 6 1 4 3 7 1 2 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 3 +r = 4 +2s -1t 2 +7r = 9 +6s +t 4 +3r = 7 +s +2t So formt man das Gleichungssystem um: r -2s +t = 1 7r -6s -1t = 7 3r -1s -2t = 3 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )