Gauß-Jordan-Algorithmus, Lineare Gleichungssysteme lösen (6:41 Minuten) Einige Videos sind leider bis auf weiteres nicht verfügbar. Einleitung Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist ein mathematischer Algorithmus, mit dem sich die Lösung eines linearen Gleichungssystems berechnen lässt. Der Algorithmus ist eine Erweiterung des gaußschen Eliminationsverfahrens, bei dem in einem zusätzlichen Schritt das Gleichungssystem auf die reduzierte Stufenform gebracht wird. Dann lässt sich dann die Lösung direkt ablesen. Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist nach Carl Friedrich Gauß und Wilhelm Jordan benannt. Eine alternative Formel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems ist die Cramersche Regel. Das Verfahren Man kann ein lineares Gleichungsystem in einer Matrix darstellen, indem man die Koeffizienten der einzelnen Gleichungen in eine Matrix schreibt. Gauß-Jordan-Algorithmus / Gauß-Jordan-Verfahren | Mathematik - Welt der BWL. $$ \begin{matrix} x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 0 \\ 4 x_1 & + & 2 x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ 9 x_1 & + & 3 x_2 & + & x_3 & = & 3 \end{matrix} \qquad\qquad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 & 3 \end{array}\right] Die Matrix wird auch Koeffizientenmatrix genannt.
length! = n) { // Falls abweichende Zeilenlänge... System. out. println ( "Matrix nicht quadratisch! "); // Fehlermeldung return null; // Rückgabewert}} // Dimensionsprüfung für Vektor: if ( v. length! = n) { // Falls falsche Dimension... System. println ( "Dimensionsfehler! Gauß jordan verfahren rechner girlfriend. "); // Fehlermeldung return null; // Rückgabewert} // Erweiterte Koeffizientenmatrix: double [][] a = new double [ n][ n + 1]; // Neues Array for ( int j = 0; j < n; j ++) // Für alle Spaltenindizes... a [ i][ j] = m [ i][ j]; // Element der Koeffizientenmatrix übernehmen a [ i][ n] = v [ i]; // Element des Vektors übernehmen} // Berechnung: for ( int j = 0; j < n; j ++) { // Für alle Spaltenindizes... int p = j; // Variable für Zeilenindex while ( p < n && a [ p][ j] == 0) p ++; // Index erhöhen, bis Spaltenelement ungleich 0 if ( p == n) { // Falls Suche erfolglos... System. println ( "Matrix nicht invertierbar! "); // Fehlermeldung if ( p!
Bei der Elimination von x in Gleichung (II) verschwindet diese vollständig, übrig bleibt die Gleichung (I). Löst man diese nach x auf kann man die Lösungsmenge in Abhängigkeit von y angeben: x = 8 - 4y L={8 - 4y|y} Pivotisierung Der gaußsche Algorithmus ist im Allgemeinen nicht ohne Zeilenvertauschungen durchführbar. Es ist zumindest notwendig, dass an der entsprechenden Stelle keine Null steht. Dieses zum Erzeugen der Nullen in diesem Schritt genutzte Element der Matrix wird Pivot genannt. Um das zu illustrieren, wurden die Pivots des obigen Beispiels markiert. Zeilenvertauschungen waren hier nicht nötig. Für die Rechnung per Hand ist es sicher sinnvoll, eine 1 oder minus 1 als Pivot zu wählen. Gaußsches Eliminationsverfahren - Mathepedia. Um einen möglichst stabilen Algorithmus zu erhalten, wählt man das betragsgrößte Element als Pivot. Wählt man das Pivot in der aktuellen Spalte, spricht man von Spaltenpivotisierung (analog Zeilenpivotisierung). Literatur A. Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, 2. Auflage, Vieweg 2005, ISBN 3528131357 A. Kielbasinski und H. Schwetlick: Numerische lineare Algebra Deutscher Verlag der Wissenschaften 1988 ISBN 3-326-00194-0 Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.
Damit auch in diesem Eintrag der Matrix eine Null steht, ziehst du nun die Hälfte der zweiten Zeile von der dritten ab ( I I I − 1 2 ⋅ I I) \left( \mathrm{III} - \frac12 \cdot\mathrm{II}\right): Damit ist deine Matrix jetzt in Zeilenstufenform, damit kannst du jetzt leicht die Lösung des Gleichungssystems bestimmen. Wie das geht, siehst du am besten, wenn du die Matrix nun wieder in der ursprünglichen Darstellung betrachtest: Indem du Gleichung I I I \mathrm{III} durch − 3 -3 teilst, erhältst du für z z die Lösung z = 2 \mathbf{z = 2}. Gauß jordan verfahren rechner biography. Diesen Wert kannst du nun in die anderen beiden Gleichungen einsetzen: Hier kannst du jetzt Gleichung I I \mathrm{II} lösen, indem du erst 2 2 subtrahierst: − 7 y = 7 -7y = 7 und dann durch − 7 -7 teilst: y = − 1 \mathbf{y = -1}. Auch diesen Wert kannst du jetzt in Gleichung I \mathrm{I} einsetzen: Wenn du diese Gleichung nach x x auflöst, erhältst du x = 1 x = 1. Die Lösung des Gleichungssystems ist also insgesamt: Gauß-Jordan-Verfahren Das Gauß-Jordan-Verfahren ist eine Abwandlung des Gaußverfahrens.
Am Ende kann durch Betrachten der letzten Zeile über die Lösbarkeit entschieden werden. Das Gleichungssystem ist: eindeutig lösbar, wenn kein Element der Diagonalen (hier: a 1, b 2, c 3 a_1, b_2, c_3) Null ist, nicht eindeutig oder unlösbar, wenn ein Element der Diagonalen Null ist Befindet sich die einzige Null auf der Diagonalen in der letzten Zeile, ist das System unlösbar, wenn auf der rechten Seite ( e x) (e_x) eine Zahl ungleich Null steht, da es sich dann um eine falsche (unerfüllbare) Aussage handelt (z. B. 0=1); hingegen hat das System unendlich viele Lösungen und ist nicht eindeutig lösbar, wenn dort eine Null steht, da es sich um eine wahre Aussage (0=0) handelt. Weiter im Beispiel: Die letzte Zeile bedeutet − 2 z = − 6 -2z = -6. Diese Gleichung ist einfach lösbar und z = 3 z = 3. Online-Rechner: Gauß Verfahren für lineare Gleichungsysteme mit einer beliebigen Anzahl von Variablen. Damit ergibt sich für die zweite Zeile − 1 y − 2 z = 0 -1y-2z = 0, also y = − 6 y = -6 und weiter x = 5 x = 5. Damit sind alle "Variablen" ( x, y, z) (x, \, y, \, z) berechnet: x = 5 y = − 6 z = 3 x = 5 \quad y = -6 \quad z = 3.
1. Umformung: Die 2. Zeile wird mit -1 multipliziert (alle Vorzeichen wechseln) und das Zweifache der 1. Zeile wird zur 2. Zeile addiert, Ergebnis: $$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 0&2&0&2&-1&0 \\ 0&2&1&0&0&1 \end{array} \right)$$ 2. Umformung: Von der 3. Zeile wird die 2. Zeile abgezogen, Ergebnis: $$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 0&2&0&2&-1&0 \\ 0&0&1&-2&1&1 \end{array} \right)$$ 3. Zeile wird durch 2 geteilt, Ergebnis: $$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 0&1&0&1&-\frac{1}{2}&0 \\ 0&0&1&-2&1&1 \end{array} \right)$$ 4. Gauß jordan verfahren rechner jersey. und letzte Umformung: Das Zweifache der 2. Zeile wird von der 1.
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