Wichtige Inhalte in diesem Video Du suchst nach dem einfachsten Rechenweg für den Abstand zweier Geraden? In diesem Beitrag erklären wir dir Schritt für Schritt, wie du die Distanzen zwischen Geraden bestimmen kannst. Alternativ zum Artikel kannst du dir auch unser Erklärvideo zum Thema Abstand zweier Geraden ansehen, in dem alle Berechnungen kompakt und anschaulich durchgegangen werden. Abstand Gerade Gerade einfach erklärt im Video zur Stelle im Video springen (00:11) Der Abstand zwischen zwei Geraden entspricht der kürzesten Strecke zwischen zwei auf den jeweiligen Geraden liegenden Punkten. Man berechnet also die Distanz genau dort, wo sich die Geraden am nächsten kommen. Abstand Punkt-Ebene. Bei dieser Abstandsrechnung musst du zunächst prüfen, welche Lagebeziehung die Geraden aufweisen. Lagebeziehungen von Geraden identische Geraden: Vektoren sind Vielfache voneinander (kollineare Richtungsvektoren). Der Abstand beträgt 0. sich schneidende Geraden: Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, die Schnittpunktbestimmung liefert eine wahre Aussage.
Die Differenz zweier Punkte ergibt einen Verschiebungsvektor. Die Länge des Verschiebungsvektors ist gerade der Abstand zwischen den beiden Punkten. Vektorrechnung: Abstand: Punkt - Punkt. $$ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \, \, \, \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} Mit Hilfe des Pythagoras: d = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2} Mit Hilfe des Skalarproduktes: d^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) Beispiel Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten A(5|12|-5) und B(3|1|5). Der Verschiebungsvektor: \vec{c} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 11 \ -10 \end{pmatrix} Methode 1: Pythagoras \begin{array}{rcl} d &=& \sqrt{ 2^2 + 11^2 (-10)^2} \\ &=& \sqrt{ 4 + 121 + 100} \\ &=& \sqrt { 225} \\ &=& 15 \end{array} Methode 2: Skalarprodukt d^2 &=& \vec{c} \cdot \vec{c} \\ &=& \begin{pmatrix} 2 \\ 11 \ -10 \end{pmatrix} \cdot \\ &=& 2 \cdot 2 + 11 \cdot 11 + (-10) \cdot (-10) \\ &=& 225 \\ d &=& 15 $$
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