Der Satz des Thales ist ein Satz der Geometrie und ein Spezialfall des Kreiswinkelsatzes. Vereinfacht lautet er: Alle von einem Halbkreis umschriebenen Dreiecke sind rechtwinklig. Der erste Beweis wird dem antiken griechischen Mathematiker und Philosophen Thales von Milet zugeschrieben. [1] Die Aussage des Satzes war bereits vorher in Ägypten und Babylonien bekannt. Formulierung des Satzes und seiner Umkehrung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Exakte Formulierung: Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden End punkten des Durchmessers eines Halbkreises ( Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, so erhält man immer ein rechtwinkliges Dreieck. Oder: Liegt der Punkt eines Dreiecks auf einem Halbkreis über der Strecke, dann hat das Dreieck bei immer einen rechten Winkel. Auch die Umkehrung des Satzes ist korrekt: Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt immer in der Mitte der Hypotenuse, also der längsten Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.
Wegen und gilt im Dreieck die Gleichung. Aus der Umkehrung des Satz des Pythagoras folgt, dass das Dreieck im Punkt rechtwinklig ist. Mit dem Satz des Pythagoras kann auch gezeigt werden, dass das Skalarprodukt der Vektoren und gleich Null ist: Es ist und. = =, woraus folgt, dass der Kosinus des Winkels im Punkt C gleich Null ist und somit das Dreieck ABC einen Rechten Winkel in C hat. Trigonometrischer Beweis [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Sind der Winkel, der der Radius und die Punkte, mit kartesischen Koordinaten gegeben, dann hat der Punkt die Koordinaten. Die Seite hat die Steigung und die Seite hat die Steigung. Wegen ist das Produkt der Steigungen gleich. Daraus folgt, dass die Seiten und zueinander orthogonal sind und einen rechten Winkel bilden. Einen weiteren Beweis findet man hier: Wikibooks: Beweisarchiv. Anwendungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Konstruktion einer Kreistangente [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eine wichtige Anwendung des Satzes von Thales ist u. a. die Konstruktion der beiden Tangenten an einen Kreis k durch einen außerhalb dieses Kreises gelegenen Punkt.
Oder: Hat das Dreieck bei einen rechten Winkel, so liegt auf einem Kreis mit der Hypotenuse als Durchmesser. Beweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Beweis mit gleichschenkligen Dreiecken [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Euklid leitet den Satz des Thales im dritten Band seiner Elemente mit Hilfe folgender Sätze, die ebenfalls Thales zugeschrieben werden und im ersten Band enthalten sind, her: [2] In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich. [3] Die Innenwinkelsumme im Dreieck ist 180°. ABC sei ein Dreieck innerhalb eines Kreises mit als Kreisdurchmesser und dem Radius. Dann ist der Mittelpunkt M der Strecke auch der Kreismittelpunkt. Die Streckenlängen, und sind also gleich dem Radius. Die Strecke teilt das Dreieck in zwei Dreiecke und auf, die gleichschenklig sind. Die Basiswinkel dieser Dreiecke, also die Winkel an der Grundseite bzw., sind daher jeweils gleich ( beziehungsweise in der Abbildung). Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°: Dividiert man diese Gleichung auf beiden Seiten durch 2, so ergibt sich.
Durch Verbinden von mit erhält man nun die gesuchte Tangente (in der Zeichnung rot). Es existiert eine zweite, symmetrische Lösung in der unteren Hälfte des Kreises. Die Tangente (ebenfalls rot gezeichnet) berührt den Kreis ebenfalls, und zwar im Punkt. Quadratur des Rechtecks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eine weitere Anwendung ist die Quadratur des Rechtecks. Konstruktion reeller Quadratwurzeln [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Mithilfe des Satzes des Thales lassen sich die folgenden Quadratwurzeln konstruieren: [4] aus und aus (siehe Zahl größer als 1). aus aus und aus (siehe Zahl kleiner als 1). Zahl größer als 1 [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Zahl größer als 1: Konstruktion von und mit Zirkel und Lineal Soll die Quadratwurzel einer reellen Zahl, die größer als 1 ist, gefunden werden, ohne vorherige Aufteilung der Zahl in - und -Anteile, eignet sich dafür die Methode die das nebenstehende Bild zeigt. Im Prinzip sind damit auch Quadratwurzeln von Zahlen, die kleiner als 1 sind, vorstellbar.
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