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Beide haben eine Gemeinsamkeit. Betrachten wir die Steigung an beiden Punkten, so fällt uns auf, dass diese Null sein muss. Dies erkennt man gut an den eingezeichneten Tangenten, die waagerecht verlaufen. Dies ist auch der Weg, um an die Extrempunkte zu kommen. Die 1. Ableitung gibt die Steigung in einem Punkt an. Somit muss man nur die 1. Ableitung bilden und diese anschließend gleich 0 setzen, da man ja eine Steigung von 0 haben will und löst diese nach $x$ auf. Die Kurvendiskussion (mit ganzrationalen Funktionen). Somit folgt die notwendige Bedingung: \[ f'(x) = 0 \] Mit der notwendigen Bedingung erhalten wir unsere Kandidaten für unsere Extrempunkte. Diese nennen wir einfach mal $x_a$. Wir wissen, dass die Steigung der Funktion $f$ an der Stelle $x=x_a$ Null ist. Nun gibt es zwei Möglichkeiten ( hinreichende Bedingung), zu überprüfen, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder einen Sattelpunkt handelt. Die erste Möglichkeit ist das Vorzeichenkriterium. Beim Vorzeichenkriterium wählen wir zwei Punkte $x_1 < x_a$ und $x_2 > x_a$ die beide sehr nah an unserem $x_a$ dran sind.
Nun setzen wir $x_1$ und $x_2$ in unsere 1. Ableitung ein. Ist $f'(x_1)$ negativ und $f'(x_2)$ positiv so haben wir einen Tiefpunkt. Ist $f'(x_1)$ positiv und $f'(x_2)$ negativ so haben wir einen Hochpunkt. Haben $f'(x_1)$ und $f'(x_2)$ gleiches Vorzeichen, so handelt es sich um einen Sattelpunkt. Die zweite Möglichkeit ist es, mit der zweiten Ableitung zu arbeiten. Kurvendiskussion ganzrationale function eregi. Dann gilt nämlich: Ist $f''(x_a) < 0 $ so haben wir einen Hochpunkt. Ist $f''(x_a) > 0 $ so haben wir einen Tiefpunkt. Viele sagen nun, was ist mit dem dritten Fall $f''(x_a) = 0$. In den meisten Klassen, so habe ich es erlebt, wird gesagt, dass daraus folgt, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Ich möchte hier keine Revolution aufrufen, jedoch sollte man sich dann über folgende Funktion Gedanken machen. \[ f(x)=x^4 \] Bestimmen wir hier die erste Ableitung so erhalten $f'(x)=4x^3$. Also ist unser Kandidat $x_a=0$. Setzen wir Ihn in die zweite Ableitung $f''(x)=12x^2$ ein so erhalten wir $f''(0)=0$. Also müsste es sich um einen Sattelpunkt handeln.
Kurvendiskussion von ganzrationalen Funktionen Die Kurvendiskussion umfasst eine Reihenfolge von bestimmten Rechenschritten. Untersuchung des Symmetrieverhaltens Enthält die Funktion nur gerade Potenzen, liegt eine sogenannte Achsensymmetrie vor. Die Funktion verläuft also symmetrisch zur y-Achse. f(x) = ax² + c ist also achsensymmetrisch. Enthält die Funktion nur ungerade Potenzen, liegt eine sogenannte Punktsymmetrie vor. Die Funktion verläuft also symmetrisch zu einem bestimmten Punkt. f(x) = ax³ + cx ist also punktsymmetrisch. Enthält eine Funktion gerade und ungerade Potenzen, ist diese nicht symmetrisch. f(x) = ax³ + bx² + cx + d ist also nicht symmetrisch. Das Verhalten im Unendlichen Man betrachtet beim Verhalten im Unendlichen den Limes, also den Grenzwertverlauf der Funktion. Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen (Interaktive Mathematik-Aufgaben). Hierbei muss man sich die höchste Potenz der Funktion an sehen und betrachtet dabei zum einen, ob diese gerade oder ungerade ist und zum anderen den Faktor vor der höchsten Potenz. Dabei muss man unterscheiden, ob dieser positiv oder negativ ist.
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