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Setze 5 in 4 ein: 6 \[ \frac{\sigma \, A}{\varepsilon_0} ~=~ \oint_{A} \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \] Da die Ebene in jedem ihrer Punkte symmetrisch und homogen ist, zeigt das elektrische Feld auf beiden Seiten aus der Ebene heraus. Elektrisches Feld und Plattenkondensator. Auf der oberen Seite der Ebene zeigt das E-Feld in kartesischen Koordinaten in z-Richtung: \( \boldsymbol{E} = E\, \boldsymbol{\hat{e}}_{\text z} \). Deshalb liefern die Seitenflächen der Gauß-Schachtel keinen Beitrag zum Flächenintegral, da elektrisches Feld und der Orthogonalenvektor dieser Seitenflächen senkrecht aufeinander stehen. Betrachte beispielsweise eine Seitenfläche, deren Orthogonalenvektor in x-Richtung zeigt: 7 \[ \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d} \boldsymbol{a}_{\text s} ~=~ E\, \boldsymbol{\hat{e}}_{\text z} ~\cdot~ \boldsymbol{\hat{e}}_{\text x} \, \text{d}a_{\text s} ~=~ 0 \] Die einzigen Stücke der Gaußschen Schachtel, die Beiträge zum E-Feld liefern, sind die beiden Deckelflächen, deren Orthogonalenvektoren in entgegengesetzte Richtungen zeigen.
Diese umhüllt einen Teil der unendlich ausgedehnten Ebene und zwar so, dass die Ebene die Gaußsche Schachtel genau mittig schneidet.
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten) Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten. Eine unendlich ausgedehnte, unendlich dünne Ebene trägt eine homogene Flächenladungsdichte \( \sigma \). Bestimme das elektrische Feld \( \boldsymbol{E} \) an jedem Ort im Raum. Aufgaben elektrisches feld mit lösungen 2. Lösungstipps Benutze die Maxwell-Gleichung für zeitunabhängiges E-Feld: \[ \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E} ~=~ \frac{1}{\varepsilon_0} \, \rho \] wobei \( \rho \) die (Raum)Ladungsdichte ist. Nutze außerdem den Gauß-Integraltheorem: \[ \int_{V}\left( \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E} \right) \, \text{d}v ~=~ \oint_{A} \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \] und nutze die ebene Symmetrie aus. Lösungen Lösung Gauß-Schachtel, die einen Teil der unendlichen Ebene P einschließt. Zeichne oder stell Dir ein zur Symmetrie des Problems geeignetes Gauß-Volumen vor. Da es sich um ein Problem mit der ebenen Symmetrie handelt, eignet sich dafür eine Gaußsche Schachtel.
Eine positiv geladene Kugel mit der Ladung $q = 10 \text{ nC}$ befindet sich in einem homogenen elektrischen Feld der Strke $E = 10 \text{ kN/C}$. a) Berechnen Sie den Betrag der auf die Kugel wirkenden Kraft. b) Bestimmen Sie die Ladung, wenn die Kugel eine Kraft von 10 N erfhrt.
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