Die Türme von Hanoi - Eine Herleitung der rekursiven Prozedur Zur Themenübersicht Bei den Türmen von Hanoi geht es darum, Steine verschiedener Größe von einem Platz zu einem Anderen zu transportieren. Hierbei gelten die folgenden Regeln: Pro Zug darf nur ein Stein bewegt werden Kein Stein darf auf einem kleineren Stein liegen Es darf ein dritter Platz zur temporären Ablage von Steinen benutzt werden Ein Beispiel mit drei Steinen Ausgangsposition Dieses ist die Ausgangsposition. Alle Steine sind übereinander gestapelt, kein Stein liegt auf einem Kleineren. Zwischenspeicher Endposition Schritt #1 Der kleinste Stein wird von Position 1 (Ausgangsposition) zu Position 3 (Endposition) verlegt. Schritt #2 Der mittlere Stein wird von Position zu Position 2 (Zwischenspeicher) verlegt. Wie sich sehen läßt, muß erst ein Turm der Höhe 1 transportiert werden, um einen Turm der Höhe 2 zu transportieren. Schritt #3 3 (Endposition) Zu diesem Zeitpunkt liegt ein Turm der Höhe 2 im Zwischenspeicher. Wie sich sehen läßt, muß erst ein Turm der Höhe 2 transportiert werden, um einen Turm der Höhe 3 zu transportieren.
Was ist der Turm von Hanoi? Der Turm von Hanoi ist ein klassisches Knobelspiel....... In seiner einfachsten Form besteht der Turm aus drei Kreisscheiben, die ein Loch haben und auf einen Pfosten gesteckt werden. Die Form erinnert an Pagoden. Das sind vielstöckige Tempeltürme im fernen Osten. So ist der Name zu erklären. Er heißt auch der Turm des Brahmanen. Er und eine Geschichte dazu wurden 1883 von Édouard Lucas erfunden. Zum Turm von Hanoi gehören noch zwei freie Pfosten. Dabei sind zwei Regeln zu beachten: (I) Man darf immer nur eine Scheibe umlegen. (II) Man darf eine größere nicht auf eine kleinere Scheibe legen. Der Pfosten auf Platz 3 dient als zusätzliches Zwischenlager. Lösung top Notation der sieben Züge: 1-2, 1-3, 2-3, 1-2, 3-1, 3-2 und 1-2. - Es genügt die Platzwechsel festzuhalten. Dieses ist auch der kürzeste Lösungsweg. Er besteht aus 7=2³-1=2^3-1 Zügen. Zur Strategie: Man beachte die kleine grüne Scheibe: Sie wandert von Platz 1 nach 2, nach 3, zurück nach 1 und nach 2.
Die Zahlen 1, 2, 3 werden zyklisch durchlaufen. Diese Wanderung hilft bei einer Lösung. Der Turm aus n Scheiben top Soll man einen Turm mit vier Scheiben umsetzen, so führt man diesen Vorgang auf das Drei-Scheiben-Problem zurück. Man setzt in sieben Schritten den Dreierturm von 1 nach 3, legt die gelbe Scheibe in die Mitte und baut in wiederum sieben Schritten den Turm von 3 auf die gelbe Scheibe auf Platz 2 auf. Man benötigt mindestens 2x7+1=15=2^4-1 Schritte: Man kann schrittweise weitergehen: Für den 5-Scheiben-Turm braucht man mindestens 2x15+1=31=2^5-1 Schritte, für den 6-Scheiben-Turm mindestens 2x31+1=63=2^6-1 Schritte. Verallgemeinerung: Sind n Scheiben vorgegeben, so braucht man mindestens 2^n-1 Schritte. Das Problem ist in dieser Aufbereitung beliebt, um den Unterschied zwischen rekursiver Darstellung [(x(1)=1 und x(n+1)=2x(n)+1] und expliziter Darstellung [x(n)=2^n-1] einer Folge zu demonstrieren. Der Turm von Hanoi mit vier Pfosten top Wie bei vielen Puzzles sind Abänderungen interessant und werfen neue Probleme auf.
972. 593 - 1 2^13. 466. 917 - 1 2^20. 996. 011 - 1 2^24. 036. 583 - 1 2^25. 964. 951 - 1 2^30. 402. 457 - 1 2^32. 582. 657 - 1 2^37. 156. 667 - 1 2^42. 643. 801 - 1 2^43. 112. 609 - 1 2^ 57. 885. 161- 1 2. 098. 960 Stellen 4. 053. 946 Stellen 6. 320. 430 Stellen 7. 235. 733 Stellen 7. 816. 230 Stellen 9. 152. 052 Stellen 9. 808. 358 Stellen 11. 185. 272 Stellen 12. 837. 064 Stellen 12. 978. 189 Stellen 17. 425. 170 Stellen 1999 2003 2004 2005 2006 2008 2009 2013 Quelle: Zur Geschichte Der französische Mathematiker Édouard Lucas (1842-1891) erfand dieses Spiel und verkaufte es als Spielzeug erstmals im Jahre 1883. Zu diesem Spielzeug dachte sich Lucas eine Geschichte aus, die man im Internet nachlesen kann. Hindupriester sollten auf Geheiß ihres Gottes Brahma 64 Scheiben umlegen. Dazu benötigten sie theoretisch mindestens 2^64-1 = 1. 8*10 ^19 Züge. Wird in jeder Sekunde eine Scheibe umgelegt, so dauert das 580 000 000 000 Jahre (! ).
Algorithmus Um einen Algorithmus für Tower of Hanoi zu schreiben, müssen wir zunächst lernen, wie dieses Problem mit einer geringeren Anzahl von Festplatten gelöst werden kann, z. B. → 1 oder 2. Wir markieren drei Türme mit dem Namen, source, destination und aux (nur um das Verschieben der Festplatten zu erleichtern). Wenn wir nur eine Festplatte haben, kann diese problemlos vom Quell- zum Zielstift verschoben werden. Wenn wir 2 Festplatten haben - Zuerst verschieben wir die kleinere (obere) Festplatte in den Aux Peg. Dann verschieben wir die größere (untere) Festplatte zum Zielstift. Und schließlich verschieben wir die kleinere Festplatte vom Aux zum Ziel-Peg. Jetzt sind wir in der Lage, einen Algorithmus für Tower of Hanoi mit mehr als zwei Festplatten zu entwerfen. Wir teilen den Plattenstapel in zwei Teile. Die größte Festplatte (n- te Festplatte) befindet sich in einem Teil und alle anderen (n-1) Festplatten befinden sich im zweiten Teil. Unser oberstes Ziel ist es, die Festplatte zu bewegen n von der Quelle zum Ziel und legen Sie dann alle anderen (n1) Festplatten darauf.
Danke... von JanoschTraumstunde, 15. 01. 2015 Die letzen 10 Beitrge im Forum Juli 2020 - Mamis
Ich brauchte einen Plan B. Aufgrund der Covid-19 Pandemie, die gerade zu diesem Zeitpunkt aufkam, gar nicht so einfach. Gott sei Dank fand ich eine Hebamme, die trotz Covid-19 die Akupunktur anbot. Darüber war ich unheimlich froh und dankbar. Vom Einzelkind zum Geschwisterkind Soweit so gut. Noch ähnelte die Geburtsvorbereitung der beim ersten Kind. Neu war, dass meine Tochter auch ihren Platz bei all diesen Vorbereitungen, auf den neuen Erdenbürger, finden musste. Dabei ging es nicht nur darum wo sie sein wird, wenn wir ins Krankenhaus fahren, sondern vor allem auch wie wir sie auf die neue Familienkonstellation und ihren Bruder vorbereiten. Geburtsvorbereitende akupunktur wann ging es los 3. Aus einem Einzelkind wird ein Geschwisterkind. Wir entschieden uns dafür die Maus von Beginn an bei allem mit einzubeziehen. Wir erzählten ihr vom Baby noch bevor der Bauch sichtbar war und ich nahm sie zu (fast) allen Untersuchungen bei der Frauenärztin mit. Wir lasen Bücher darüber wie ein Baby entsteht, was passiert wenn es auf der Welt ist und sprachen darüber wie es ist ein Geschwisterchen zu haben.
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