Hierfür brauchen wir den Logarithmus. In jedem steckt die $e$-Funktion Für $b > 0$ gilt: \[ a \cdot b^x = a \cdot e^{\ln(b) \cdot x} \] Dieser Zusammenhang folgt, da $e^{\ln(b)} = b$ gilt. Also mit anderen Worten da $e^x$ und $\ln(x)$ Umkehrfunktion voneinander sind. In unserem Falle hätten wir dann die zweite Darstellung: \[ K(t) = 5. 000 \cdot e^{\ln(1{, }05) \cdot t} \approx 5. 000 \cdot e^{0{, }048 \cdot t} \] Nun fragen sich bestimmt viele, wieso man diesen Zusammenhang kennen sollte. Meiner Meinung nach, sprechen die folgenden beiden Punkte für die zweite Darstellung: Das Ableiten einer $e$-Funktion ist einfacher! Das Lösen einer Gleichung ist einfacher, da man nur $\ln$ anwenden muss und dies auf dem Taschenrechner sofort eingebbar ist! Natürlich sollte man sich auch über den Aufwand Gedanken machen, die zweite Darstellung zu nehmen. Wachstums- und Zerfallsprozesse - Abitur-Vorbereitung. Kommen wir nun zu einer Beispielaufgabe, an der wir verschiedene Punkte erklären können. Bei einer Bakterienkultur wird die Anzahl der Bakterien stündlich festgehalten.
Aus Wikibooks Zur Navigation springen Zur Suche springen Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst. Wusstest du, dass du in deine feste Begleiterin durch die ganze Schule finden kannst? KLICKE HIER UND INFORMIERE DICH Im entsprechenden Projekt gibt es Seiten mit Erklärungen zu jedem Thema, Seiten mit Aufgaben, Erklärungsvideos, Seiten mit Links zu den wichtigsten YouTube Mathematikseiten, und all das und noch weiteres auf DEINE Schule angepasst!
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Hätten wir lineares Wachstum, so würde die Quotienten immer kleiner beziehungsweise immer größer werden und nicht gleich bleiben. b) Da $B_0$ der Anfangsbestand ist, folgt sofort aus der Tabelle $B_0 = 20$. Für unser $k$ erhalten wir, wie oben schon beschrieben: \[ k = \ln (\text{ Wachstumsfaktor}) = \ln (1{, }7) \approx 0{, }53 \] Somit lautet unsere Bestandsfunktion: \[ B(t) = 20 \cdot e^{\ln(1{, }7) \cdot t} \] c) Um diese Frage beantworten zu können, brauchen wir die Bestandsfunktion $B(t)$. Hier setzen wir einfach $2B_0$ gleich unserer Funktion. Wachstums und zerfallsprozesse aufgaben pdf. Dies machen wir, da $2B_0$ die doppelte Anzahl der Anfangsmenge darstellt. Anschließend müssen wir nur nach unser $t$ auflösen. 2B_0 &= B_0 \cdot e^{\ln(1{, }7) \cdot t} \qquad &&|:B_0 \\ 2 &= e^{\ln(1{, }7) \cdot t} \qquad &&| \ln\\ \ln(2)&= \ln\left(e^{\ln(1{, }7) \cdot t}\right) = \ln(1{, }7) \cdot t &&|:\ln(1{, }7) \\ t &= \frac{\ln(2}{\ln(1{, }7)} \approx 1{, }306 Somit haben wir eine Verdopplungszeit von 1, 306 Stunden. d) Um die Bakterien nach einem Tag zu bestimmen setzen wir einfach $t=24$ in unsere Funktion ein (da 1 Tag = 24 Stunden) und erhalten: \[B(24) = 20 \cdot e^{\ln(1{, }7) \cdot 24} = 6.
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