Asymptote Definition Nähert sich der Graph einer Funktion bzw. ihre Kurve im Unendlichen (also für sehr große positive oder negative x) einer Geraden (manchmal auch Kurve) immer weiter an, nennt man diese Gerade (bzw. Kurve) Asymptote. Annähern heißt: nicht berühren. Möglich sind waagrechte, senkrechte und schiefe bzw. schräge Asymptoten. Das Verhalten einer Funktion (bzw. deren Untersuchung) in diesen Grenzbereichen nennt man Asymptotik oder Asymptotisches Verhalten. Beispiel: Asymptote e-Funktion Die e-Funktion $f(x) = e^x$ strebt für x gegen plus unendlich gegen plus unendlich. Die e-Funktion $f(x) = e^x$ strebt für x gegen minus unendlich gegen 0 (so ist bereits für x = -20 $f(x) = e^{-20}$ mit 0, 000000002 nahe an Null). Die e-Funktion hat deshalb eine waagrechte Asymptote bei der x-Achse bzw. y = 0 ( Gleichung der Asymptote) für x gegen minus unendlich. Alternative Begriffe: Asymptotik, Asymptotisches Verhalten. Beispiel: Asymptote berechnen Es liegt folgende gebrochen-rationale Funktion vor: $$f(x) = \frac{x^2 - 1}{2x^2 + 4x}$$ Waagrechte Asymptote Bei der Funktion ist der Grad (die höchste Potenz von x) des Zählerpolynoms x 2 - 1 gleich 2, der Grad des Nennerpolynoms 2x 2 + 4x ist ebenfalls gleich 2.
Bestimmen Sie die Asymptoten von f(x) = 3·e 2x –5 Bevor du dieses Video anschaust, solltest du dieses Thema beherrschen: >>> [A. 16. 02] Waagerechte / schiefe Asymptoten Es gibt themenverwandte Videos, die dir auch helfen könnten: >>> [A. 52. 02] Grenzwertbestimmung mit l`Hospital Sobald du dieses Video verstehst, kannst du auch folgendes Thema angehen: >>> [A. 41. 08] Asymptoten (Herausforderung)
Im Gegensatz zu den ganzrationalen Funktionen haben e-Funktionen meistens eine Asymptote. Merke Hier klicken zum Ausklappen Eine Asymptote ist eine Funktion, oft eine Parallele zur x-Achse, gegen die die e-Funktion läuft, d. h. bei großen x schmiegt sich die e-Funktion immer weiter an die Asymptote an. Asymptoten bei e-Funktionen Bestimmung von Asymptoten Asymptoten werden bestimmt, in dem man den Grenzwert der Funktion berechnet. Bei ganzrationalen Funktionen, gibt es nur die zwei Möglichkeiten +unendlich oder - unendlich. Bei e-Funktionen kann der Grenzwert der einen Seite unendlich sein (wie bei der grünen Funktion, wo bei x gegen + unendlich der y-Wert gegen + unendlich läuft) und der Grenzwert der anderen Seite eine Zahl (wie bei der grünen Funktion, wo bei x gegen - unendlich der y-Wert gegen -1 läuft, d. h die Asymptote y=-1 ist). Oder wie bei der blauen Funktion, können auch beide Grenzwerte ( für x gegen - unendlich und für x gegen + unendlich) eine Zahl sein (die Asymptote ist hier y=1).
Darf eine Funktion grundsätzlich per Definition nur eine einzige Asymptote habe oder ist es möglich, dass eine Funktion auch mehrere Asymptoten hat. Ich hätte jetzt beispielsweise an eine ganz simple gebrochenrationale Funktion gedacht. Diese definiere ich nun aber einmal für das Intervall]0;unendlich[, indem ich die Funktionsvorschrift unverändert lasse, und einmal für das Intervall]-unendlich;0[ indem ich die selbe Funktionsvorschrift aufgreife, die gesamte Funktion allerdings noch um eine Einheit nach oben verschieben. So würde die Funktion beispielsweise für positive Werte gegen 0 und für negative Werte gegen 1 konvergieren. Dann habe ich doch zwei Grenzwerte und zwei Asymptoten, auch wenn die Funktion nicht beschränkt ist? Ist das so richtig oder wo liegt mein Denkfehler?
Die natürliche Exponentialfunktion ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis und Du findest sie in vielen Funktionen wieder. Dabei hat die e-Funktion die Basis und ist nach ihrem Entdecker, dem Mathematiker Leonard Euler, benannt. Dieser erkannte die Basis, als er Grenzwerte einer unendlichen Reihe berechnen wollte. Abbildung 1: e-Funktion Eigenschaften der e-Funktion Nun wirst Du die Eigenschaften der e-Funktion und die Bedeutung der Konstanten e kennenlernen. Die natürliche Exponentialfunktion ist keine rationale Zahl und kann nicht als Bruch dargestellt werden, da sie unendlich viele Nachkommastellen besitzt. Bei der e-Funktion steht im Gegensatz zur Potenzfunktion die Variable im Exponenten. Ebenso ist die Funktion streng monoton steigend. e und π (Pi) haben beide unendlich viele Nachkommastellen und werden deshalb als Konstante geschrieben! Definitionsmenge und Wertebereich Im Folgenden findest Du die Definitionsmenge der e-Funktion. Definitionsmenge und Wertebereich – Definition Doch zuerst: Was ist eine Definitionsmenge überhaupt?
Abbildung 4: y-Achsenabschnitt Das heißt, jede natürliche Exponentialfunktion besitzt diesen Schnittpunkt. Du musst jedoch beachten, dass, sobald die e-Funktion verändert wird, also mit einer Konstanten multipliziert wird, sich dieser Schnittpunkt verändert! Abbildung 5: Schnittpunkt y-Achse Das heißt, sobald es sich um keine reine e-Funktion handelt, also mehr als nur ein Argument vorhanden ist (z. B. quadratische Funktion), kann es sein, dass die Funktion die x-Achse schneidet. Aufgabe 1 Berechne die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt der folgenden Funktion Abbildung 6: Exponentialfunktion Lösung Da keine Nullstellen liefert, beachtest Du in diesem Fall nur die Nullstellen der quadratischen Funktion. Die Nullstellen der Funktion lauten wie folgt: Die Funktionen hat eine Nullstelle bei und eine Nullstelle bei. Um jetzt den y-Achsenabschnitt der Funktion zu berechnen, setzt Du 0 als x-Wert in die Funktion ein. Das heißt, die Funktion hat einen Schnittpunkt mit der y-Achse an dem Punkt.
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