Tourismus Studium Bayern Paris | Aufgabenfuchs Zentrische Streckung

July 1, 2024, 8:05 am

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Zentrische Streckung - verkleinern und vergrößern Auf der Abbildung siehst du ein Beispiel für zwei zentrische Streckungen. Du glaubst es nicht? Dann schau genau hin. Bei der ersten zentrischen Streckung wird das Quadrat $$ABCD$$ mit $$Z$$ als Zentrum und dem Streckungsfaktor $$k = 3$$ auf das Quadrat $$A'B'C'D'$$ abgebildet. Bei der zweiten zentrischen Streckung wird das Quadrat $$A'B'C'D'$$ mit $$Z$$ als Zentrum und dem Streckungsfaktor $$k = frac{1}{3}$$ auf das Quadrat $$ABCD$$ abgebildet. Der erste Fall ist ein Vergrößerung und der zweite Fall eine Verkleinerung. Wird eine Figur durch eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor k > 1 auf eine Bildfigur abgebildet, so wird die Figur vergrößert. Liegt der Streckfaktor zwischen 0 und 1, gilt also 0 < k < 1, so wird die Figur verkleinert. Die Eigenschaften der zentrischen Streckung bleiben in beiden Fällen erhalten. Eigenschaften der zentrischen Streckung Hier hast du nochmal die Eigenschaften der zentrischen Streckung auf einen Blick: Entsprechende Winkel in Figur und Bildfigur sind gleich groß - die zentrische Streckung ist winkeltreu.

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Die DIN (Deutsche Industrie-Norm) ist ein Standard, um Gegenstände zu vereinheitlichen. Papier hat zum Beispiel die DIN 476. Das gilt nicht nur in Deutschland, sondern in Europa. In Nordamerika hat Papier andere Maße (z. 216 x 279 mm). Negative Streckfaktoren: $$k lt 0$$ Bisher hatte der Streckfaktor Werte $$k gt 0$$. Aber es gibt auch negative Streckfaktoren! Für $$k lt 0$$ gilt, dass der Bildpunkt, z. $$P'$$, auf der Verlängerung der Strecke $$bar(ZP)$$ über $$Z$$ hinaus liegt. Hier siehst du Beispiele für $$k = - frac{1}{3}$$ und $$k = - 2$$ Im Vergleich dazu siehst du zentrische Streckungen mit den Streckfaktoren $$k = frac{1}{3}$$ und $$k = 3$$. Aus der Abbildung kannst du auch entnehmen, dass für Streckfaktoren $$k$$ mit $$|k| gt 1$$ stets eine Vergrößerung erfolgt, mit $$|k| lt 1$$ dagegen stets eine Verkleinerung. Beispiel: $$k = -frac{1}{2}, |k| lt 1$$ Der Storchschnabel oder Pantograph Der Pantograph ist ein Zeichengerät, mit dem vor der Digitalisierung maßstabsgerechte Verkleinerungen bzw. Vergrößerungen durchgeführt wurden.

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Verallgemeinerungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die zentrische Streckung ist ein Beispiel für eine Dilatation. In der axiomatisch aufgebauten affinen Geometrie wird dieser Begriff mithilfe der Parallelität definiert. Die zentrische Streckung ist der Spezialfall einer Drehstreckung mit Drehwinkel 0. An Stelle des affinen 2- bzw. 3- dimensionalen Raumes über den reellen Zahlen, kann man zentrische Streckungen auch allgemeiner in jedem endlichdimensionalen affinen Raum über einem beliebigen Körper und sogar über einem beliebigen Schiefkörper definieren. Die "vektorielle" Darstellung ist die Gleiche wie im reellen Fall, allerdings bilden die Parallelverschiebungen, die von einem Zentrum aus gestreckt werden, im Allgemeinen nur noch einen Linksvektorraum über dem Koordinatenschiefkörper. Im ebenen, zweidimensionalen Fall wird noch etwas allgemeiner auch noch dann von einer zentrischen Streckung gesprochen, wenn die Parallelverschiebungen (als Koordinaten-"Vektoren") einer affinen Translationsebene über einem Quasikörper mit einem "Skalar" aus dem Kern des Quasikörpers gestreckt werden.

Das, was dann dabei rauskommt, ist der Streckungsfaktor. Beispiel Die gestreckte Strecke zwischen Z und A´ ist 4cm lang. Die ursprüngliche Strecke zwischen Z und A ist 2 cm lang. Wie groß ist der Streckungsfaktor? Lösung: Der Streckungsfaktor ist 4cm: 2cm=2. Also ist k=2. Müsst ihr das Streckungszentrum bestimmen, müsst ihr nur durch den ursprünglichen Punkt und dem Punkt, auf welchen dieser gestreckt wurde, eine Gerade zeichnen (z. durch A und A´). Dies macht ihr dann mit allen Punkten und dort, wo sich dann alle Geraden schneiden, ist dann das Streckungszentrum (guckt oben im Beispiel).

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