Deshalb erhalten wir nur eine Approximation, (1. 83) die bis zum Grad in Normalform ist. Im Grenzübergang erhielte man die vollständig normalisierte Hamilton-Funktion (1. 84) Es gilt (1. 85) denn die Normalisierung für größere Grade als ändert die Terme mit dem Grad nicht mehr. Die Rücktransformation des diagonalisierbaren Anteils von auf die ursprünglichen Koordinaten 1. 11 ergibt dann, unter Ausnutzung der Formel ( 1. 57) für die Inverse einer Lie-Transformation, (1. 86) Dementsprechend kann das praktisch berechnete Integral der Bewegung nur konstant bis auf Terme der Ordnung sein, wenn die Hamilton-Funktion lediglich bis zum Grad auf Normalform gebracht wurde. Gl. 112) verdeutlicht, daß das formale Integral bzw. die entsprechenden Quasiintegrale im allgemeinen eine sehr komplizierte algebraische Struktur aufweisen, im Gegensatz zur Darstellung ( 1. 108) des Integrals als quadratisches Polynom in den Koordinaten. Diese Komplizierung ist bedingt durch die (unendlich vielen) bei der Rücktransformation benötigten Lie-Transformationen.
[2] Generell bleiben die Größen nur unter speziellen, idealisierten Bedingungen – im mathematischen Modell – unveränderlich, wie zum Beispiel die Gesamtenergie in einem isolierten System. Denn die Unterdrückung jedweder Wechselwirkung des Systems mit seiner Umgebung lässt sich in der Realität nur temporär und näherungsweise sicherstellen, siehe Irreversibler Prozess. Beispiele Bei konstanter Beschleunigung ist, wo c eine Konstante ist und die Überpunkte die zweite Zeitableitung bilden. Die Funktion ist dann ein Integral der Bewegung, was sich durch Ableitung nach der Zeit nachprüfen lässt. Ein Beispiel mit expliziter Abhängigkeit des Integrals von der Zeit liefert die gleichförmige Bewegung. Bei ihr ist konstant. Wenn das Skalarprodukt "·" der Beschleunigung mit der Geschwindigkeit jederzeit verschwindet, die beiden Vektoren also jederzeit senkrecht zueinander sind, dann ist das Geschwindigkeitsquadrat ein Integral der Bewegung: Wenn die Beschleunigung proportional zum Ortsvektor ist, mit skalarem f und Komponenten bezüglich der Standardbasis ê i, dann sind die Differenzen Konstanten der Bewegung.
Im zwei- und dreidimensionalen Raum unserer Anschauung sind dies die Komponenten des Drehimpulses, der demnach unter den gegebenen Bedingungen, zum Beispiel in einem Zentralkraftfeld, ein Integral der Bewegung ist. Methoden zur Gewinnung der Integrale [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Folgende Methoden sind bei der Gewinnung der Integrale gebräuchlich: Bei der mehr oder weniger systematischen Suche nach Zusammenhängen in experimentellen oder numerisch simulierten Daten können Konstanten auffallen und im Nachhinein als solche anhand der Bewegungsgleichungen mathematisch nachgewiesen werden. In der Kreiseltheorie wurden mit Erfolg allgemeine, mit Parametern versehene Ansätze gemacht und anhand der Bewegungsgleichungen diejenigen Parameter gesucht, die auf Konstanten führen. Im Lagrange-Formalismus weisen zyklische Koordinaten auf erste Integrale hin. Mit dem Hamilton-Jacobi-Formalismus werden systematisch zyklische Koordinaten konstruiert, wobei sich das Auffinden eines Integrals auf die Lösung der Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung verlagert.
Z. B. Weg = Geschwindigkeit · Zeit, \(s=v\cdot t\), oder Arbeit = Kraft · Weg, \(W=F\cdot s\). Das funktioniert aber nicht mehr so recht, wenn der "Proportionalitaetsfaktor" (in den Beispielen \(v\) bzw. \(F\)) gar keine Konstante ist, sondern von der zweiten Groesse (\(t\) bzw. \(s\)) abhaengt. Dann kann man sich immer noch auf das Prinzip "Im Kleinen ist alles linear" berufen und z. sagen: Fuer kleinste Zeitintervalle \(dt\) und die in ihnen zurueckgelegten Strecken \(ds\) gilt die urspruengliche Proportionalitaet trotzdem, \(ds=v(t)\, dt\) (aber natuerlich für jeden Zeitpunkt \(t\) eine andere). Num muss man bloss noch diese vielen Kleinststrecken \(ds\) im gewuenschten Gesamtzeitintervall \([t_1, t_2]\) zum Endergebnis "aufsummieren", also integrieren: $$s=\int_{t_1}^{t_2}ds=\int_{t_1}^{t_2}v(t)\, dt. $$ Daran sieht man auch, wie der Integralwert seine Dimension bekommt; es ist das Produkt der Dimension des Integranden und der Dimension der Groessen im Integrationsintervall. Das andere Beispiel (Verrichtete Arbeit beim Ziehen an einer Feder etwa) koenntest Du mal selber probieren.
[3] Ein erstes Integral einer gewöhnlichen Differentialgleichung D(t, x, v) = 0 ist eine (nicht konstante) stetig differenzierbare Funktion F(t, x), die auf einer Lösung x(t) von D = 0 lokal konstant ist. [5] Erste Integrale des zweiten Newtonschen Gesetzes Kraft gleich Masse mal Beschleunigung heißen Gleichungen der Form F(x, v, t) = const. von der Beschaffenheit, dass die Zeitableitung dF/dt vermöge des Newtonschen Gesetzes identisch verschwindet. [2] Allgemeines Die Punktmechanik betrachtet die Bewegung von Massenpunkten, bei denen ein erstes Integral nur vom Ort und der Geschwindigkeit des Punkts abhängt aber entlang einer Bahnkurve unveränderlich ist. Der Wert der Konstanten steht daher mit den Anfangsbedingungen fest, also der Ausgangsposition und der Anfangsgeschwindigkeit. Können für ein derartiges System sechs unabhängige Integrale gefunden werden, so kann aus ihnen der Ort als Funktion der Zeit und der Anfangsbedingungen bestimmt werden, womit die Bahnkurve vollständig bekannt ist.
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