Es werden zufällig 100 Steuerbescheide ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 12 Steuerbescheide fehlerhaft sind? Im Ergebnis einer Ziehung können nur zwei mögliche Ereignisse auftreten: "fehlerhafter Steuerbescheid" und "korrekter Steuerbescheid". Statistik: Approximation von Verteilungen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. Aufgrund der postulierten Ausgangsbedingungen sind die Wahrscheinlichkeiten beider Ereignisse mit und konstant. Die Zufallsvariable "Anzahl der fehlerhaften Steuerbescheide unter 100 zufällig ausgewählten Steuerbescheiden" ist -verteilt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit. Dafür ergibt sich: kann nicht mehr aus einer Tabelle der Binomialverteilung entnommen werden, sondern muss berechnet werden, was sehr umständlich ist. Da die Bedingungen einer Approximation durch die Normalverteilung mit und erfüllt sind, wird die gesuchte Wahrscheinlichkeit mittels einer approximativ bestimmt. Erwartungswert und Varianz der binomialverteilten Zufallsvariable sind: und so dass die Normalverteilung zur Approximation verwendet wird, die in der folgenden Grafik gezeigt ist.
Zur Erinnerung: Für eine stetige Zufallsvariable sind Wahrscheinlichkeiten als Flächen unter der Dichtefunktion gegeben, so dass die Wahrscheinlichkeit für irgendeinen exakten Wert, wie z. B., gleich Null ist. Es wird deshalb 0, 5 von 12 substrahiert und zu 12 addiert, was der Stetigkeitskorrektur entspricht. Statt für die diskrete Zufallsvariable wird das Intervall für die normalverteilte Zufallsvariable verwendet, und wird durch, die Fläche unter der Dichtefunktion der zwischen 11, 5 und 12, 5, approximiert. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung | SpringerLink. Da jedoch nur die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung tabelliert vorliegt, wird standardisiert: Aus der Tabelle findet man für und, so dass sich ergibt: Dies ist eine recht gute Annäherung an die exakte Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung, denn der Fehler beträgt nur. Gleichzeitig ist aus den errechneten Wahrscheinlichkeiten zu entnehmen, dass die approximierte Wahrscheinlichkeit, höchstens 12 fehlerhafte Steuerbescheide bei zufälligen Ziehungen zu erhalten, gleich ist.
414 Aufrufe ALSO:D Wie schon gesagt handelt es sich bei meinem Problem um die Approximation der Binomialverteilung durch die Gaußsche Normalverteilung... und zwar habe ich die Normal Formel benutzt habe für b= 200 a= 0 sigma= 8, 9653 sigma^2 = 80. 376 Erwartungswert = 119, 5 Nun bekomme ich allerdings als Ergebnis: 2, 99419983 Das kann doch nicht sein oder? Müsste der Wert nicht kleiner 1 sein? Und wenn nicht WARUM IST DAS SO? und wie gehe ich damit um? Die Frage ist nämlich: berechnen sie die Wahrscheinlichkeit, dass es in 365 Tagen höchstens 200 mal regnet mit der Tagesregenwahrscheinlichkeit von 239/730 Gefragt 26 Jun 2016 von 1 Antwort Rein rechnerisch P(0 ≤ x ≤ 200) = Φ((200. 5 - 119. 5)/8. 965) - Φ((-0. 965) = Φ(9. 04) - Φ(-13. 39) = Φ(9. 04) - (1 - Φ(13. 39)) = 1 - (1 - 1) = 1 Aber der 3 Sigma bereich ist das Intervall [119. Approximation binomialverteilung durch normalverteilung formel. 5 - 3·8. 965; 119. 5 + 3·8. 965] = [93; 146] Die Wahrscheinlichkeit für 93 bis 146 Regentage sollte also vermutlisch schon an die 99% ergeben. Wenn ich diesen Bereich noch weiter vergrößer komme ich unendlich dicht an die 100% heran.
Da p = 0, 5 ist, ist die Binomialverteilung symmetrisch (bei einem Würfel wäre es anders): X ~ Bin (n, p) – im Beispiel Bin (5, 0, 5) – besagt, dass die Zufallsvariable X ("Anzahl von Zahl") binomialverteilt ist mit n = 5 und Wahrscheinlichkeit p = 0, 5. Mindestens... Erfolge Ist nach der Wahrscheinlichkeit für z. mindestens 3 Erfolge gefragt, müssen die Wahrscheinlichkeiten für 3, 4 und 5 Erfolge aufaddiert werden: 0, 3125 + 0, 15625 + 0, 03125 = 0, 5. Höchstens... Approximation Binomialverteilung Normalverteilung • 123mathe. Erfolge Wird nach der Wahrscheinlichkeit für z. höchstens 3 Erfolge gefragt, ist dies die Gegenwahrscheinlichkeit zu "mindestens 4 Erfolge": 1 - (0, 15625 + 0, 03125) = 1 - 0, 1875 = 0, 8125, ca. 81%; alternativ kann es in der obigen Tabelle direkt in der Spalte für die kumulierte Wahrscheinlichkeit in der Zeile für "3 mal Zahl" abgelesen werden (die Summe der Wahrscheinlichkeiten für 0 mal, einmal, zweimal oder dreimal Zahl). Erwartungswert Binomialverteilung Der Erwartungswert einer Binomialverteilung entspricht dem Produkt aus der Anzahl der Durchführungen des Bernoulli-Experiments und der (Erfolgs-)Wahrscheinlichkeit (als Formel: Erwartungswert = n × p mit n als Anzahl der Experimentsdurchführungen und p als Erfolgswahrscheinlichkeit).
Eine allgemeine Empfehlung ist schwierig. Ganz generell sind Approximationen in den Randbereichungen einer Verteilung problematischer als in den mittleren Bereichen, es sei denn die Approximation ist speziell auf die Randbereiche ausgerichtet. Wenn man eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert, reduziert die Stetigkeitskorrektur in den mittleren Bereichen den Approximationsfehler. Approximation binomialverteilung durch normalverteilung tabelle. In den Randbereichen kann es aber auch zu einer Überkompensation kommen. Diese Randbereiche sind aber mit heutigen Rechnern meist einer exakten Berechnung mit der Binomialverteilung zugänglich. Danke für die Rückmeldung
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