Methode der kleinsten Quadrate Definition Die lineare Regression basiert auf der von Carl Friedrich Gauß entwickelten Methode der kleinsten Quadrate. Um die Ausgleichs- bzw. Regressionsgerade zu finden, die am besten zu den Datenpunkten passt, werden die quadrierten Abstände (Abstandsquadrate) zwischen den Datenpunkten (Messwerten) und der Regressionsfunktion/-geraden minimiert. Das Quadrat der Abstände wird verwendet, um positive und negative Abweichungen gleich zu behandeln und um zu vermeiden, dass sich die Abweichungen gegenseitig aufheben (das könnte man auch durch die Verwendung absoluter Beträge erreichen) und um große Fehler stärker zu gewichten (1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9 etc. ; die Verhältnisse ändern sich also nicht "nur" um 100% (von 1 auf 2) bzw. 50% (von 2 auf 3), sondern um 400% (von 1 auf 4) bzw. um 225% (von 4 auf 9)). Alternative Begriffe: Kleinste-Quadrate-Methode, KQ-Methode, Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Beispiel: Methode der kleinsten Quadrate Um diese Abstände zu zeigen, werden die Beispieldaten zur linearen Regression bzgl.
Die Steigung heißt bei der Regression allerdings Regressionskoeffizient b und der Y-Achsenabschnitt a:. Super! Methode der kleinsten Quadrate Jetzt weißt du, wie man die Regressionsfunktion aufstellt. Aber wie bestimmst du nun die konkreten Daten für die Gleichung? Dafür benötigst du erstmal Daten aus einer Stichprobe. Mache dir das wieder am Beispiel mit dem Prädiktor Körpergröße und dem Kriterium Einkommen deutlich. Angenommen du hast 100 Leute nach ihrer Größe und ihrem Einkommen befragt. Jede der 100 Personen erhält in deiner Regressionsgraphik jeweils einen Punkt. Aus dieser entstehenden Punktewolke ermittelst du nun die Gleichung, die das zukünftige Einkommen am besten vorhersagen kann. Dafür zeichnest du durch die Punktewolke die sogenannte Regressionslinie oder auch Vorhersagelinie. Diese Regressionslinie entspricht der Regressionsgleichung. Du zeichnest sie so ein, dass der Abstand von allen Datenpunkten zu dieser Linie möglichst klein ist. Den Abstand von den Datenpunkten zur Regressionslinie nennst du auch Residuum (Rest).
15 + 8. 88 = 19. 64$ Diese Zahlenwerte knnen jezt in $m_{min}$ eingesetzt werden: $m_{min} = \frac{ \frac{-4\left(10\right)\left(7. 28\right)}{8} + \left(2\cdot19. 64\right)}{\left(2\cdot30 - \frac{\left(2\cdot10\right)^2}{8} \right)} = \frac{-5\cdot7. 28 + 39. 28}{60-50} = \frac{2. 88}{10} = 0. 288$ (5. 12 m) Dieser Wert wird in b eingesetzt: $b_{min} = \frac{-\left(2\cdot10\right)\cdot0. 288 - \left(-2\cdot7, 28\right)}{ \left(4\cdot2\right)} = \frac{8. 8}{8} = 1. 1$ (5. 6 b) Wir haben somit die Gerade mit den minimalen Fehlerquadraten berechnet: $f(x) = mx+b = 0. 288\cdot x + 1. 1$ (6) Abbildung 3: Die ideal angenherte Gerade und die Messpunkte home Impressum
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