Das schauen wir uns weiter unten noch genauer an. Beispiel 4 Berechne den Grenzwert der Funktion $$ f(x) = \frac{3x-4}{2x^2-5} $$ für $x\to-\infty$. Da der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad, strebt die Funktion für $x \to -\infty$ gegen $0$: $$ \lim_{x\to-\infty} \frac{3x-4}{2x^2-5} = 0 $$ Anmerkung $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1. Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion | Mathebibel. 000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx -0{, }17 & \approx -0{, }015 & \approx -0{, }0015 & \cdots \end{array} $$ Beispiel 5 Berechne den Grenzwert der Funktion $$ f(x) = \frac{3x^2+x-4}{2x^2-5} $$ für $x\to-\infty$. Da der Zählergrad genauso groß ist wie der Nennergrad, entspricht der Grenzwert dem Quotienten der Koeffizienten vor den Potenzen mit den höchsten Exponenten: $$ \lim_{x\to-\infty} \frac{{\color{Red}3}x^2+x-4}{{\color{Red}2}x^2-5} = \frac{{\color{Red}3}}{{\color{Red}2}} = 1{, }5 $$ Anmerkung $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1. 000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 1{, }47 & \approx 1{, }495 & \approx 1{, }4995 & \cdots \end{array} $$ Beispiel 6 Berechne den Grenzwert der Funktion $$ f(x) = \frac{3x^4-4}{2x^2-5} $$ für $x\to-\infty$.
Wir müssen noch unterscheiden, ob die Funktion gegen plus oder minus unendlich strebt: $\frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} > 0$ Der Quotient der Leitkoeffizienten von Zähler und Nenner ist positiv. Die Funktion strebt somit gegen: $\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$ Fall 2: $x \to - \infty$ Wir stellen fest, ob Zähler- und Nennergrad gerade oder ungerade sind: $n = 3$ ungerade Zählergrad und Nennergrad sind verschieden. Wir wissen, dass der Quotient der Leitkoeffizienten positiv ist: $\frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} > 0$ Daraus folgt: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = - \infty$ Die Funktion $f(x)$ strebt für: $x \to +\infty$ gegen plus unendlich $x \to -\infty$ gegen minus unendlich
Beispiel: Potenz Zähler größer als Potenz Nenner Im nächsten Beispiel haben wir mit x 3 eine höhere Potenz im Zähler als mit x 2 im Nenner. Setzen wir für x immer größere Zahlen ein (10, 100, 1000 etc. ) wächst der Zähler wegen der höheren Potenz immer schneller, sprich das x 3 wächst schneller als x 2. Daher läuft der Bruch gegen plus unendlich. Setzt man hingegen immer negativere Zahlen ein (-10, -100, -1000 etc. ) läuft der Bruch hingegen gegen minus unendlich. Dies liegt daran, dass wenn man eine negative Zahl drei Mal aufschreibt und mit sich selbst multipliziert das Ergebnis negativ ist. Beispiel: (-10)(-10) = +100 aber (-10)(-10)(-10) = - 1000. Beispiel: Potenz Zähler so groß wie Potenz Nenner Bleibt uns noch ein dritter Fall. Grenzwert gebrochen rationale funktionen in full. Die höchsten Potenzen im Zäher und Nenner sind gleich wie im nächsten Beispiel. Hier ist eine andere Vorgehensweise nötig um den Grenzwert zu berechnen. Dazu teilen wir jeden Ausdruck im Zähler und Nenner durch x 2. Im Anschluss überlegen wir uns, was passiert, wenn für x 2 hohe positive oder hohe negative Zahlen eingesetzt werden.
Da der Zählergrad $n$ größer ist als der Nennergrad $m$, $n$ gerade und $m$ ungerade ist sowie $\frac{a_n}{b_m} > 0$ gilt, strebt die Funktion für $x \to -\infty$ gegen $-\infty$: $$ \lim_{x\to-\infty} \frac{3x^2-4}{2x-5} = -\infty $$ Anmerkung $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1. 000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx -11{, }84 & \approx -146{, }32 & \approx -1496{, }26 & \cdots \end{array} $$ Beispiel 11 Berechne den Grenzwert der Funktion $$ f(x) = \frac{3x^2-4}{-2x-5} $$ für $x\to-\infty$. Da der Zählergrad $n$ größer ist als der Nennergrad $m$, $n$ gerade und $m$ ungerade ist sowie $\frac{a_n}{b_m} < 0$ gilt, strebt die Funktion für $x \to -\infty$ gegen $+\infty$: $$ \lim_{x\to-\infty} \frac{3x^2-4}{-2x-5} = +\infty $$ Anmerkung $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1. Verhalten im Unendlichen: Gebrochenrationale Funktion. 000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 19{, }73 & \approx 153{, }83 & \approx 1503{, }76 & \cdots \end{array} $$ Online-Rechner Grenzwert online berechnen Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes Kapitel
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