Mathematik > Geometrie Video wird geladen... Falls das Video nach kurzer Zeit nicht angezeigt wird: Anleitung zur Videoanzeige Inhaltsverzeichnis: Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens verwendest du, wenn du die Länge einer Seite oder die Größe eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen möchtest. Zunächst widmen wir uns der Definition des Sinus. Definition des Sinus Die erste Winkelfunktion, die wir behandeln, ist der Sinus. Er beschreibt das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Trigonometrie - Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion - Mathematikaufgaben und Übungen | Mathegym. Merke Hier klicken zum Ausklappen $sinus (\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ Der S inus von $\alpha$ (geschrieben $\sin( \alpha)$) ist die Gegenkathete von $\alpha$ geteilt durch die Hypotenuse. Somit beschreibt $\sin( \alpha)$ das Verhältnis der Längen von Gegenkathete und Hypotenuse. Das mag zunächst ein wenig kompliziert klingen, aber die folgenden Beispiele zeigen dir, dass es eigentlich ganz einfach ist. Was können wir mit dem Sinus berechnen? Mit dem Sinus kann man entweder die Länge der Hypotenuse oder die Länge der Gegenkathete oder die Größe des Winkels berechnen, je nachdem, welche der drei Größen gesucht ist.
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Beispiel $\alpha =~? $, Hypotenuse $=~6~cm$, Gegenkathete $=~3~cm$ $sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ $sin(\alpha) = \frac{3~cm}{6~cm} = {0, 5}$ $\alpha = {sin^{-1}(0, 5)} = 30 ^\circ$ Somit gilt: $\alpha$ = $30^\circ$ Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Gegenkathete Zur Berechnung der Gegenkathete benötigst du die Länge der Hypotenuse und die Größe des Winkels. Du setzt beide Werte in die Formel ein und stellst die Formel dann nach der Gegenkathete um. Beispiel $\alpha = 30 ^\circ$, Hypotenuse = $8, 5~cm$, Gegenkathete = $? $ $sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ $sin(30 ^\circ) = \frac{Gegenkathete}{8, 5~cm}$ $sin(30 ^\circ)\cdot 8, 5~cm = {Gegenkathete}$ $Gegenkathete = 4, 25~cm$ Die Gegenkathete ist 4, 25 cm lang. Sinusfunktion bestimmen aufgaben mit lösung videos. Übrigens haben die Ergebnisse meist viele Nachkommastellen. Also wundere dich nicht, wenn dein Ergebnis viele Nachkommastellen hat. Du kannst das Ergebnis dann auf zwei Nachkommastellen runden. Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Hypotenuse Zuletzt zur Berechnung der Hypotenuse.
Merke Die Amplitude der Sinusfunktion wird "der größte Ausschlag nach oben und unten" genannt. Die Variable $a$ bezeichnet den Streckungsfaktor. Dieser verändert die Amplitude und damit die Wertemenge. Die Amplitude einer Schwingung. Die Amplitude ist gleich dem Betrag des Streckfaktors $a$. Die allgemeine Sinusfunktion | Learnattack. Periode $\textcolor{green}{p}$ der Sinusfunktion Die Sinusfunktion verläuft periodisch, das heißt, dass sich die einzelnen Abschnitte der Funktion wieder und wieder wiederholen. Die Periode der Sinusfunktion wird hierbei der sich immer wieder wiederholende Abschnitt genannt. Wenn wir den Faktor $\textcolor{green}{b}$ der Funktion verändern, ändert sich auch die Länge der kleinsten Periode. Bei größerem Faktor $\textcolor{green}{b}$ wird die kleinste Periode der Funktion kürzer, bei kleinerem Faktor $\textcolor{green}{b}$ größer, bis hin zur Spiegelung der Funktion bei negativem Vorzeichen. Die kleinste Periode berechnet man mit der Formel $p = | \frac{2 \cdot \pi}{b} | $ In der folgenden Abbildung haben wir die Funktionen $\textcolor{green}{f(x) = sin x}$, $\textcolor{blue}{g(x) = sin (\frac{1}{2} x)}$, $\textcolor{purple}{i(x) = sin (-2x)}$ und $\textcolor{red}{h(x) = sin (3x)}$.
Die jeweils anderen beiden Größen müssen gegeben sein. Methode Hier klicken zum Ausklappen $Winkel = sin^{-1}(\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse})$ $Gegenkathete = sin(Winkel)\cdot Hypotenuse$ $Hypotenuse = \frac{Gegenkathete}{sin(Winkel)}$ Auf diese Formeln kommst du durch Umformung der Grundformel $sinus (\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$. Daher musst du diese Formeln nicht auswendig lernen. Es ist aber dennoch hilfreich sie zu kennen. Vor allem, da du Aufgaben schneller lösen kannst, wenn du nicht erst die Formel umstellen musst. Sinusfunktion bestimmen aufgaben mit lösung pictures. Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal Über 700 Lerntexte & Videos Über 250. 000 Übungen & Lösungen Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen Gratis Nachhilfe-Probestunde Sinus - Aufgaben mit Lösungen Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Winkel Um die Größe des Winkels $\alpha$ zu berechnen, musst du zuerst das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse bestimmen. Also einfach $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ ausrechnen. Das Ergebnis davon wird dann in die Umkehrfunktion von Sinus, also in $sin ^{-1}$, eingesetzt.
Mathematik > Funktionen Video wird geladen... Falls das Video nach kurzer Zeit nicht angezeigt wird: Anleitung zur Videoanzeige Inhaltsverzeichnis: In diesem Lerntext werden wir dir die verschiedenen Begrifflichkeiten und Eigenschaften der allgemeinen Sinusfunktion erklären. Dabei gehen wir auf die verschiedenen Bedeutungen der Variablen der allgemeinen Sinusfunktion genauer ein und erklären dir diese. Die allgemeine Sinusfunktion Die Sinusfunktion ordnet jedem Winkel eine Streckenlänge zu. Wie das passiert, kannst Du in dem Lerntext Sinusfunktion und ihre Eigenschaften nachlesen. Nachfolgend erklären wir dir die Bedeutung der Variablen a und b in der Funktion: $y\;=\;\textcolor{orange}{a}\;\cdot \sin(\textcolor{green}{b}\;\cdot x)$ Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal Über 700 Lerntexte & Videos Über 250. 000 Übungen & Lösungen Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen Gratis Nachhilfe-Probestunde Streckungsfaktor $\textcolor{orange}{a}$ Die reelle Zahl $\textcolor{orange}{a}$, die in dieser Funktion als Streckungsfaktor auftritt, wirkt aich auf verschiedene Weisen auf den Verlauf der Funktion $y=sin \textcolor{green}{b}x$ aus.
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