·1 = n! Permutation mit Wiederholung Manchmal liegen auch Permutationen vor, bei denen die Elemente teilweise oder gar nicht unterscheidbar sind oder das grundsätzlich bei den Experimenten Wiederholungen zulässig sind. Auch in diesem Fall können wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, die Elemente in einer Reihenfolge ohne Wiederholung zu verwenden: Ohne eine lange Herleitung: Sind k Elemente von den insgesamt n Elementen nicht unterscheidbar, so muss diese in der Anzahl der Möglichkeiten berücksichtigt werden. Daher muss die obige Formel "Permutationen bei unterscheidbaren Elementen" noch durch die Anzahl der nicht unterscheidbaren Elementen geteilt werden. Als Formel für die Permutation von n Elementen mit k Elementen, die nicht unterscheidbar sind, gilt: Möglichkeiten = n! : k! Beispiel: Wir haben zwei grüne Kugeln (g) und eine rote Kugel (r). Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese auszulegen (in Reihenfolge)? 1. Schritt: Bestimmung von n: wir haben 3 Objekte (n = 3) 2. Schritt: Bestimmung von k: wir haben 2 nicht unterscheidbare Objekte (k = 2) 3.
Schließlich befindet sich R ganz am Ende und man erhält durch erneutes Permutieren von G und B zwei weitere Alternativen. Hinweis Hier klicken zum Ausklappen Dabei sollte man sich ein strukturiertes Vorgehen angewöhnen, um ein Durcheinanderkommen zu vermeiden. Video wird geladen... Falls das Video nach kurzer Zeit nicht angezeigt wird: Anleitung zur Videoanzeige Permutationen ohne Wiederholung - Elemente teilweise gleich Methode Hier klicken zum Ausklappen Wenn unter den Elementen eines n-Tupels k-Elemente voneinander verschieden sind (k ≤ n) und jeweils mit den Häufigkeiten n 1, n 2,..., n k auftreten und n 1 + n 2 +... + n k = n gilt, dann nennt man dies eine n-stellige Permutation mit n 1, n 2,..., n k Wiederholungen. Es gibt insgesamt $\ {n! \over {n{_1}! \cdot n{_2}! \cdot... \cdot n{_x}! }} $ dieser n-stelligen Permutationen. Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Aus den farbigen Kugeln R, R, G, B lassen sich $\ {4! \over {2! \cdot 1! \cdot 1! }} = 12 $ verschiedene Permutationen mit Wiederholung, also zwölf verschiedene 4-Tupel der betrachteten Art bilden.
Schritt: Einsetzen in die Formel: 3! : 2! = 3, wir haben also drei Möglichkeiten "manuelle" Überprüfung: ggr, grg, rgg (3 Möglichkeiten) Zusammenfassung der Kombinatorik Die Kombinatorik befasst sich mit der Anzahl von Anordnung von einer bestimmten Anzahl an Elementen mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Sind die Elemente unterscheidbar (und kommen diese nur einzeln vor) so spricht man von "ohne Wiederholung". Sind die Elemente hingegen nicht unterscheidbar, so spricht man von "mit Wiederholung", da jedes Element, dass bereits verwendet wurde, wieder verwendet werden kann. Kombination (mit Wiederholung) – Auswahl von k aus n Elementen – keine Reihenfolgenbeachtung Kombination (ohne Wiederholung) – Auswahl von k aus n Elementen – keine Reihenfolgenbeachtung Variation (mit Wiederholung) – Auswahl von k aus n Elementen – Reihenfolgenbeachtung: n k Variation (ohne Wiederholung) – Auswahl von k aus n Elementen – Reihenfolgenbeachtung: Permuation (mit Wiederholung) – Auswahl von n aus n Elementen – Reihenfolgenbeachtung: Permutation (ohne Wiederholung) – Auswahl von n aus n Elementen – Reihendolgenbeachtung: n!
Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) von Objekten. In diesem Kapitel schauen wir uns die Permutation ohne Wiederholung an, die folgende Frage beantwortet: Wie viele Möglichkeiten gibt es, voneinander unterscheidbare Kugeln in einer Reihe anzuordnen? Definition Formel Herleitung Wir haben $n$ unterscheidbare Objekte, die wir auf $n$ Plätze in einer Reihe nebeneinander anordnen wollen. Für das erste Objekt gibt es $n$ Platzierungsmöglichkeiten. Für das zweite Objekt verbleiben $(n-1)$ Möglichkeiten, für das dritte Objekt $(n-2)$ …und für das letzte Objekt verbleibt nur noch $1$ Möglichkeit. In mathematischer Schreibweise sieht das folgendermaßen aus: $$ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1 = n! $$ Der Ausdruck $n! $ heißt Fakultät und ist eine abkürzende Schreibweise für das oben beschriebene Produkt. Wichtige Werte $$ 0! = 1 $$ $$ 1! = 1 $$ Spezialfall: Anordnung in einem Kreis Beispiele Beispiel 1 In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln.
Autor:, Letzte Aktualisierung: 29. September 2021
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