Nachweis auf Hochpunkt (rel. ) bzw. Tiefpunkt (rel. ) 3. Einsetzen der x – Werte in f(x) liefert die Funktionswerte (y – Werte) der Extrempunkte. Nachweis über die zweite Ableitung Der Nachweis über die zweite Ableitung ist in den meisten Fällen der einfachste Weg zum Auffinden der Extrempunkte. Fassen wir die Bedingungen für Extrempunkte zusammen: Extremwerte berechnen Kommentierte Beispiele Beispiel 1: Beispiel 2: Merke: Zur Bestimmung der Extremwerte sind die Werte der Extremstellen möglichst genau in die Funktionsgleichung einzusetzen. Um Punkte in ein Koordinatensystem zu zeichnen, reicht eine Genauigkeit von 2 Stellen hinter dem Komma aus. Notwendige Bedingung, hinreichende Bedingung Svenja möchte selbst mit dem Auto zur Schule fahren. Eine notwendige Bedingung ist, dass sie eine gültige Fahrerlaubnis hat. Das allein reicht aber nicht aus, sie benötigt auch ein Auto. Herr Meier hat einen gültigen Führerschein. In seiner Garage stehen zwei betankte und zugelassene Autos, die ihm gehören.
2011, 16:17 Das stimmt ja gerade nicht. Ein Gegenbeispiel liefert die Funktion. Es ist klar bei ein Extremum. Dann wäre nach Original von Christian_P auch (ok, das stimmt) und auch, was offensichtlich nicht stimmt... 24. 2011, 21:17 Wie Pascal schon sagte, es gilt nur in x_0 ist ein Extremum. 25. 2011, 12:22 aaaah jaa.... dann ist es doch nur eine hinreichende Bedingung, hinreichend, aber nicht notwendig. Mich würde mal interessieren: Die zweite Ableitung beschreibt die Änderungsrate der Steigung, wenn man die geometrische Anschauung zugrunde legt. Ist es dann nicht so, dass im Falle der Funktion y=x^4, sich im Punkt (0/0) die Steigung momentan nicht ändert, so wie dies in einem Terrassenpunkt der Fall ist? lg, Christian 26. 2011, 09:18 So gesehen schon. Notwendig ist nur, daß f'(x_0) = 0 ist. Ja, das ist so. 26. 2011, 15:33 Danke für die Info. Das finde ich echt faszinierend. Wenn man sich die Funktion y=x^4 anschaut hat man, finde ich, den Eindruck, dass die Kurve sich zum Ursprung hin sehr abflacht.
Denn wenn die 1. Ableitung monoton an ihrer Nullstelle fällt, also von positiv zu negativ (das Kriterium für einen Hochpunkt), dann muss die 2. Ableitung negativ sein (1. Ableitung fällt, 2. Ableitung ist negativ). Das Gleiche für einen Tiefpunkt. Ist die 2. Ableitung positiv an der Nullstelle der 1. Ableitung, so bedeutet dies, dass die 1. Ableitung an ihrer Nullstelle steigt, also von negativ zu positiv wechselt. Und weiterhin ist klar, dass die zweite Ableitung in der hinreichenden Bedingung nicht Null sein darf. Denn wenn die zweite Ableitung Null ist, befindet sich in der ersten Ableitung ein Extremum, was Nullstelle zur ersten Ableitung ist und somit würde sich die Steigung der Funktion nicht ändern und es würde sich deshalb nicht um einen Extrempunkt handeln. Extrempunkte auf Hochpunkt und Tiefpunkt untersuchen Gegeben sei die Funktion: Ihre erste Ableitung ist: Die notwendige Bedingung, dass die erste Ableitung Null wird ist an den Stellen x = – 2 und x = 4 erfüllt. Die hinreichende Bedingung ist, dass diese Stellen in der zweiten Ableitung eingesetzt nicht Null ergeben.
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