Bei Extremwertprobleme (auch Optimierungsaufgaben oder Extremwertaufgaben genannt) geht es darum, Prozesse zu optimieren, minimalen oder maximalen Aufwand, Material oder Volumen zu erhalten. Man sucht also eine Funktion, die unser Problem beschreibt und nur noch von einer Variablen abhängt. Wenn unsere Funktion von mehreren Variablen abhängt, müssen Variablen durch Nebenbedingungen so eliminiert werden, dass nur noch eine Variable vorliegt. Wenn z. B. nach maximalen Volumen gefragt wird, ist die Hauptbedingung $V = \dots$. Soll nach minimaler Oberfläche gesucht werden ist die Hauptbedingung $O =\dots$. Extremwertaufgaben. Die Nebenbedingung enthält Informationen, wie zum Beispiel ein gegebenes Volumen, wenn die Oberfläche minimal bzw. maximal werden soll. Vorgehensweise bei Extremwertaufgaben Hauptbedingung aufstellen: Was soll maximal/minimal werden? Rand- bzw. Nebenbedingung: Angabe im Text! Nebenbedingung nach einer Variablen umstellen und in Hauptbedingung einsetzen $\Rightarrow$ Zielfunktion. Zielfunktion auf Extremstellen untersuchen.
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Unter Extremwertaufgaben werden alle Aufgaben gefasst, in denen etwas am größten oder am kleinsten werden soll (eine Dreiecksfläche, ein Volumen, ein Abstand). Es gibt zur Zeit mehrere Standardaufgaben von so einer Maximierung (oder Minimierung). Diese Extremwerte werden hier vorgerechnet.
Berechnen Sie den Wert von $u$, für den die Fläche des Dreiecks maximal ist. Geben Sie die Koordinaten von $P$ und $Q$ an, und berechnen Sie den Inhalt der Fläche. Lösungen Letzte Aktualisierung: 02. 12. 2015; © Ina de Brabandt Teilen Info Bei den "Teilen"-Schaltflächen handelt es sich um rein statische Verlinkungen, d. h. sie senden von sich aus keinerlei Daten an die entsprechenden sozialen Netzwerke. Mathe extremwertaufgaben übungen – deutsch a2. Erst wenn Sie einen Link anklicken, öffnet sich die entsprechende Seite. ↑
Gegeben sind die Funktionen $f(x)=-0{, }2x^3+x^2$ und $g(x)=-0{, }5x^2+2{, }4x+1{, }6$ (Abb. 1). Die Gerade $x=u$ mit $u \in [-0{, }5;4]$ schneidet den Graphen von $f$ im Punkt $P$ und den Graphen von $g$ im Punkt $Q$. Berechnen Sie den Wert von $u$ so, dass die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ maximal ist. Geben Sie die Koordinaten von $P$ und $Q$ an, und berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{PQ}$. Gegeben sind die Funktionen $f(x)=\frac 13 x^2-2$ und $g(x)=4-\frac 16x^2$. Diesen Parabeln wird ein achsenparalleles Rechteck einbeschrieben (Abb. Mathe extremwertaufgaben übungen. 2). Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte so, dass das Rechteck einen maximalen Flächeninhalt besitzt. Gegeben sind die Parabeln $f(x)=0{, }5x^2-3x+1$ und $g(x)=0{, }1x^2-x+1$. Skizzieren Sie die Parabeln im Bereich $0 \leq x \leq 6$ in ein Koordinatensystem. Die Gerade $x=u$ mit $u \in [0; 5]$ schneidet den Graphen von $f$ im Punkt $P$ und den Graphen von $g$ im Punkt $Q$. Diese Punkte bilden mit dem Ursprung $O(0|0)$ ein Dreieck.
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