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Kurzform des Äquivalenzschluss es: [ ( A ⇒ B) ∧ ( B ⇒ A)] ⇔ ( A ⇔ B) Beispiel: Zu beweisen ist: Eine natürliche Zahl a ist genau dann gerade, wenn a 2 gerade ist. Das heißt: A ⇒ B: a g e r a d e ⇒ a 2 g e r a d e B ⇒ A: a 2 g e r a d e ⇒ a g e r a d e Es sind also zwei Beweise zu führen. Beweis für A ⇒ B: a ist eine gerade Zahl, d. h. a = 2 x ( x ∈ ℕ). Dann folgt a 2 = 2 x ⋅ 2 x = 2 ⋅ 2 x 2, wobei 2 x 2 wieder eine natürliche Zahl und damit a 2 = 2 ⋅ 2 x 2 eine gerade natürliche Zahl ist. Beweis für B ⇒ A (über die Kontraposition ¬ A ⇒ ¬ B): ¬ A: a ist ungerade, d. a = 2 n + 1 ( n ∈ ℕ). Daraus folgt a 2 = ( 2 n + 1) 2 = 4 n 2 + 4 n + 1 = 2 ( 2 n 2 + 2 n) + 1, also ist a 2 eine ungerade natürliche Zahl ( ¬ B). w. z. b. Sowohl A ⇒ B als auch B ⇒ A (hier als Kontraposition) ¬ A ⇒ ¬ B sind wahre Aussagen. Damit gilt dies auch für die Äquivalenz A ⇔ B. Weitere Beispiele für Äquivalenzen (bzw. Tautologien) wären die oben angeführte Regel der Kontraposition, die nachfolgende Aussage zur doppelten Verneinung sowie ( A ⇒ B) ⇔ ( ¬ A) ∨ B ( A ∨ ( A ∧ B)) ⇔ B Beweise (mithilfe der Wahrheitswertetafel): Beispiel: Es ist die Aussage "A: Die Geraden mit den Gleichungen g 1: y = 2 x + 3 und g 2: y = 2 x − 4 schneiden einander" zu überprüfen.