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TEDi in Göttingen-Grone TEDi Goettingen - Details dieser Filliale TEDi, Am Kaufpark 4, 37079 Göttingen-Grone TEDi Filiale - Öffnungszeiten Diese TEDi Filiale hat Montag bis Samstag die gleichen Öffnungszeiten: von 09:00 bis 20:00. Die tägliche Öffnungszeit beträgt 11 Stunden. TEDi Öffnungszeiten, Reitstallstraße in Göttingen | Offen.net. Am Sonntag bleibt das Geschäft geschlossen. TEDi & Sonderposten Filialen in der Nähe Geschäfte in der Nähe Ihrer TEDi Filiale Sonderposten - Sortiment und Marken TEDi in Nachbarorten von Göttingen
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TEDi Am Kaufpark 4 in Göttingen Informationen zur TEDi Am Kaufpark 4 Göttingen! Hier erfahrt Ihr alles! Alles über die Öffnungszeiten, Telefonnummern, die Lage und über das Angebot der Filiale.
Du siehst links vier Rechteckflächen, die komplett unterhalb des Funktionsgraphen liegen. Die Summe der entsprechenden Flächeninhalte ist die sogenannte Untersumme. Die Flächenstücke rechts liegen komplett oberhalb des Funktionsgraphen. Die resultierende Fläche als Summe der Einzelflächen wird als Obersumme bezeichnet. Eigenschaften der Unter- und Obersummen Es seien $U(n)$ die Untersumme und $O(n)$ die Obersumme bei Unterteilung des Intervalls in $n$ gleich große Teilintervalle. Wenn du das betrachtete Intervall immer feiner unterteilst, nähern die Ober- sowie die Untersumme das tatsächliche Flächenstück immer genauer an. Die Folge der Untersummen ist monoton wachsend, also $U(n+1)\ge U(n)$. Die Folge der Obersummen ist monoton fallend, also $O(n+1)\le O(n)$. Für jede Unterteilung des Intervalls gilt, dass die Untersumme kleiner oder gleich der Obersumme ist: $U(n)\le O(n)$. Sei $A$ der tatsächliche Flächeninhalt, dann gilt insgesamt $U(n)\le A \le O(n)$. Darüber hinaus erhältst du: $\lim\limits_{n\to \infty} U(n)=A=\lim\limits_{n\to\infty} O(n)$ Berechnung einer Ober- und Untersumme Wir berechnen nun die Untersumme $U(4)$ sowie die Obersumme $O(4)$ für $I=[1;2]$ und die quadratische Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$.
Auf den Arbeitsblättern zum Ergänzen der Ober- und Untersummen: Auf den Lösungsblättern befinden sich die ausführlichen Herleitungen:
Dann wird durch den gemeinsamen Grenzwert von Unter- und Obersumme der Inhalt der Fläche unterhalb des Graphen bestimmt. \[\lim\limits_{n \to \infty} \underline{A}_n = \lim\limits_{n \to \infty} \overline{A}_n = A\] Dabei ist $\underline{A}_n$ die Untersumme, die in $n$ Teile aufgeteilt ist, und $\overline{A}_n$ die Obersumme, die ebenfalls in $n$ Teile aufgeteilt ist. Dieser Satz sagt also nichts großartig neues aus. In anderen Worten beschreibt sie nur, wenn wir das Intervall genügend oft unterteilen, also $n \to \infty$, und die Untersumme gleich der Obersumme ist, dann haben wir die Fläche best möglichst approximiert, da die obige Ungleichung gilt. Nun wollen wir abschließend die Fläche unter einem Graphen mit dieser Methode bestimmen. Dafür nehmen wir uns den einfachsten Graphen, nämlich $f(x)=x$ in den Grenzen von $0$ bis $3$. Natürlich kann man die Fläche auch mittels Dreiecksberechnung bestimmen, aber wir wollen es nun einmal mittels Ober- und Untersumme versuchen. Unser erster Schritt ist das Bestimmen von der Intervalllänge $h$.
Berechne $U(n)=\frac1n\left(\left(\frac0n\right)^2+\left(\frac1n\right)^2+\left(\frac2n\right)^2+... +\left(\frac{n-1}n\right)^2\right)$. Du kannst nun den Faktor $\frac1{n^2}$ in dem Klammerterm ausklammern: $U(n)=\frac1{n^3}\left(1^2+2^2+... +(n-1)^2\right)$. Verwende die Summenformel $1^2+2^2+... +(n-1)^2=\frac{(n-1)\cdot n\cdot (2n-1)}{6}$. Schließlich erhältst du $U(n)= \frac{(n-1)\cdot n\cdot (2n-1)}{6\cdot n^3}$. Es ist $A=\lim\limits_{n\to\infty} U(n)=\frac26=\frac13$. Zusammenhang Ober- und Untersumme mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Diesen Flächeninhalt berechnest du mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung als bestimmtes Integral: $A=\int\limits_0^1~x^2~dx=\left[\frac13x^3\right]_0^1=\frac13\cdot 1^3-\frac13\cdot 0^3=\frac13$. Du kannst nun natürlich sagen, dass die letzte Berechnung sehr viel einfacher ist. Das stimmt auch. Allerdings wird diese Regel durch die Streifenmethode nach Archimedes hergeleitet. Abschließend kannst du noch den Flächeninhalt $A$ aus dem anfänglichen Beispiel berechnen $A=\int\limits_1^2~x^2~dx=\left[\frac13x^3\right]_1^2=\frac13\cdot 2^3-\frac13\cdot 1^3=\frac83-\frac13=\frac73$.
Am Schieberegler lässt sich die Feinheit einstellen und darunter wird der exakte Wert mit dem Wert der Obersumme verglichen. Die Ungenauigkeit der Obersumme kann je nach Funktion beliebig klein oder groß sein. Beispielaufgabe Berechne die Obersumme von f ( x) = x f(x)=x über dem Intervall [ 0; 1] [0;1] mit Feinheit 1 1 und gib die Abweichung von ∫ 0 1 x d x \int_0^1x\mathrm{d}x an. Für welche Feinheit ist der Unterschied kleiner als 0, 0001? Lösungsskizze Wenn Feinheit und vorgegebene Intervalllänge übereinstimmen, erhält man ein einziges Teilintervall, dessen Länge der Länge des Ausgangsintervalls entspricht. Hier ergibt sich das Intervall [ 0; 1] [0;1] als Teilintervall der Länge 1. Aus der Monotonie der Funktion erhält man, dass an der Stelle x 0 = 1 x_0=1 der maximale Funktionswert f ( x 0) = 1 f(x_0)=1 des Intervalls angenommen wird. Für die Obersumme gilt somit: O ( 1) = x 0 ⋅ f ( x 0) = 1 ⋅ 1 = 1 O(1)=x_0 \cdot f(x_0)=1 \cdot 1=1. Für das Integral gilt hingegen: ∫ 0 1 x d x = [ x 2 2] 0 1 = 1 2 − 0 = 1 2 \int_0^1x\mathrm{d}x=\lbrack\frac{x^2}2\rbrack_0^1=\frac{1}2-0=\frac{1}2.