Umrechnung Basiswissen √4 = 4^0, 5: die Wurzel von 4 kann man auch schreiben als vier hoch ein halb. Jeder Wurzelterm lässt sich auch als Potenzterm schreiben. Damit kann man alle Potenzgesetze auch auf alle Wurzeltermen anwenden. Das ist hier kurz vorgestellt. Regel ◦ Die r-te Wurzel von x ist wie x hoch KW von r. ◦ (KW steht für Kehrwert, der Kehrwert von 5 ist 1/5. ) ◦ Beispiel: die 5te Wurzel von 243 ist wie 243 hoch 1/5. ◦ Siehe auch Tipps ◦ Tipp zum => Kehrwert bilden ◦ Zahl als Eintel schreiben, etwa 0, 75 ist wie 0, 75/1. ◦ Dann Zähler und Nenner vertauschen: 1/0, 75. ◦ Bei Brüchen: direkt Zähler und Nenner vertauschen. ◦ Damit kann man als KW rechnen.
$\quad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}=(\frac{a}{b})^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\frac ab}$ $\quad \sqrt[4]{\frac{81}{16}}=(\frac{81}{16})^{\frac{1}{4}}=\frac{81^{\frac{1}{4}}}{16^{\frac{1}{4}}}= \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}=\frac{3}{2}$ Wurzeln von Wurzeln: Du ziehst die Wurzel einer Wurzel, indem du die Wurzelexponenten multiplizierst und den Radikanden beibehältst. $\quad \sqrt[m]{\sqrt[n]a}=(a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}}=\sqrt[m\cdot n]a$ $ \quad \sqrt[6]64=\sqrt[3\cdot 2]64=64^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}= (64^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\sqrt[2]64}=\sqrt[3]{8}=2$ An dieser Umformung kannst du nun sehen, wie unter Verwendung des Potenzgesetzes Potenzieren von Potenzen dieses Gesetz nachgewiesen werden kann. Alle Videos zum Thema Videos zum Thema Wurzeln als Potenzen schreiben (9 Videos) Alle Arbeitsblätter zum Thema Arbeitsblätter zum Thema Wurzeln als Potenzen schreiben (9 Arbeitsblätter)
Schauen wir uns zunächst einmal spezielle Wurzeln an. Der Wurzelexponent Den Wurzelexponenten $2$ schreibst du nicht auf. Es ist $\sqrt{36}=\sqrt[2]{36}=6$ die Quadratwurzel von $36$. Das Ziehen der Quadratwurzel ist die Umkehroperation zum Quadrieren. Die Kubikwurzel ist die Wurzel mit dem Wurzelexponenten $3$. Die Kubikwurzel kehrt das Potenzieren mit dem Exponenten $3$ um: $\sqrt[3]{216}=6$. Nun weißt du, was eine Wurzel ist. Wenden wir uns also dem Thema Wurzeln als Potenzen zu. Wurzeln als Potenzen schreiben In vielen Zusammenhängen ist es von Vorteil, Wurzeln als Potenzen zu schreiben. Du kannst zum Beispiel die oben genannten Potenzgesetze anwenden. Zunächst schreiben wir die Eigenschaft, dass das Ziehen einer $n$-ten Wurzel das Potenzieren mit $n$ umkehrt, mathematisch auf: $\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$ sowie $\sqrt[n]{a^n}=a$ Die n-te Wurzel als Potenz Es sei $b=\sqrt[n]a$, dann ist $b^n=\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$. Da $a=a^1=a^{\frac nn}$ ist, folgt $b^n=a^{\frac nn}=\left(a^{\frac1n}\right)^n$.