Nun ich habe folgendes Problem: Ich muss eine hypergeometrische Verteilung berechnen! Angabe sieht so aus: H( N= 500, M= 65, n= 25) P(X>4) =? Lösung: P(X>4) = 41, 3% Hier ist die Rekursionsformel zu verwenden! Standardabweichung der hypergeometrischen Verteilung Taschenrechner | Berechnen Sie Standardabweichung der hypergeometrischen Verteilung. Da ich aber jetzt nicht jeden einzelnen Punkt berechnen möchte, sondern mit dem Taschenrechner Texas Instrument TI 84- Plus, würde ich gern von euch wissen, wie ich das ganze mit dem Taschenrechner berechnen kann!? Denn P(X=4) ist ja noch händisch nicht so aufwendig, aber was ist wenn ich mal ne größere Zahl berechnen muss. Da würde ich in hundern Jahren nicht fertig. Also bitte ich euch mir zu sagen, wie ich dieses Beispiel am Taschenrechner berechnen kann!
Die Variable \(x\) hingegen kann alle möglichen Ausgänge des Experiments annehmen, hier also alles von 0 bis 4. Verteilungsfunktion Für die Verteilungsfunktion gibt es hier, wie bei der Binomialverteilung, keine kürzere Formel, sondern man summiert einfach die Dichte über alle möglichen Ausprägungen aus: \[ F(x) = \mathbb{P}(X \leq x) = \sum_{k=0}^x f(k) \] Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) für dieses Beispielexperiment. Möchte ich also die Wahrscheinlichkeit wissen, höchstens drei weiße Kugeln in meiner Stichprobe zu erhalten, muss ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten aufsummieren: \[\begin{align*} F(3) = \mathbb{P}(X \leq 3) &=\mathbb{P}(X=0) +\mathbb{P}(X=1)+\mathbb{P}(X=2)+\mathbb{P}(X=3) \\&= 0. 1538 + 0. Hypergeometrische Verteilung berechnen. 4396 + 0. 3297 + 0. 0733 \\&= 0. 996 \end{align*}\] Einen Trick gibt es allerdings in den Fällen, in denen man viele einzelne Wahrscheinlichkeiten im Taschenrechner berechnen müsste: Über die Gegenwahrscheinlichkeit lässt sich derselbe Wert viel schneller berechnen: \[F(3) = \mathbb{P}(X \leq 3) = 1-\mathbb{P}(X=4) = 1-0.
Wenn \(X\) eine hypergeometrische Zufallsvariable mit den Parametern \(N\), \(K\) und \(n\) ist, erhalten wir für \(k \in [0, K]\) \[ \Pr(X = k) = \frac{\left( \begin{matrix} K \\ k \end{matrix}\right) \times \left( \begin{matrix} N-K \\ n-k \end{matrix}\right)}{\left( \begin{matrix} N \\ n \end{matrix}\right)} \] Eine ähnliche Verteilung ist die Binomialverteilung (mit dem Unterschied, dass der Anteil der Defekte bei der ersatzlosen Probenahme konstant bleibt Binomialwahrscheinlichkeit Rechner. Eine andere bemerkenswerte diskrete Verteilung ist die Poisson-Verteilung, die Sie vielleicht interessieren könnten. Hypergeometrische Verteilung | Dichte | Wahrscheinlichkeitsrechnung. Diese Website verwendet Cookies, um Ihre Erfahrung zu verbessern. Wir gehen davon aus, dass Sie damit einverstanden sind, aber Sie können sich abmelden, wenn Sie dies wünschen. Würdeieren Weiterlesen
Somit kann mit dieser diskreten Verteilung auch die Frage geklärt werden, wie wahrscheinlich es ist einen Sechser im Lotto zu bekommen. N ist in diesem Fall 49, da sich 49 Kugeln in der Trommel befinden. M steht für die Anzahl an "Richtigen", also Zahlen welche einem den Traum zum Millionär erfüllen. In unserem Lotto Beispiel ist M also gleich 6. Klein n sagt uns, wie viele Kugeln wir ziehen und x gibt an wie viele der gezogenen Zahlen "richtig" sein müssen. Beide Parameter sind wieder 6 in diesem Beispiel. Würden wir die Wahrscheinlichkeit für 3 "Richtige" berechnen, so wäre x=3. Setzt man die Werte nun in die Formel ein so erhält man: Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser im Lotto beträgt also in etwa 0, 00000715%. Beliebte Inhalte aus dem Bereich Wahrscheinlichkeitsrechnung
004 = 0. 996\] Erwartungswert Der Erwartungswert ist, analog zur Binomialverteilung, einfach \(n\)-mal der anfängliche Anteil an Treffern, also \(M/N\). Es ist daher \[ \mathbb{E}(X) = n \cdot \frac{M}{N} \] Varianz Die Varianz berechnet man durch \[ \mathbb{V}(X) = n \frac{M}{N} \left( 1-\frac{M}{N} \right) \frac{N-n}{N-1} \] Beispielaufgabe Mit Hilfe der hypergeometrischen Verteilung können wir zum Beispiel die folgenden Fragen beantworten: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim deutschen Lotto (6 aus 49) drei gerade und drei ungerade Zahlen zu ziehen? Wie hoch ist dort die Wahrscheinlichkeit für sechs gerade Zahlen? In beiden Fragen verwenden wir eine Zufallsvariable mit der Verteilung \[ X \sim \text{HG}(49, 24, 6). \] Denn es gibt insgesamt \(N=49\) Kugeln, davon sind \(M=24\) eine gerade Zahl, und wir ziehen \(n=6\) dieser Kugeln. Mit der Dichtefunktion für diese Verteilung können wir nun die Wahrscheinlichkeit für drei (über \(f(3)\)), sechs (über \(f(6)\)), oder beliebig viele Kugeln mit geraden Zahlen bestimmen: \[\begin{align*} f(3) &=\frac{{24 \choose 3} {49-24 \choose 6-3}}{49 \choose 6} = 0.
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Hypergeometrische Verteilun g zu finden.
0 - Unterprogramm Poisson-Verteilung MathProf 5. 0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform Screenshot eines Moduls von PhysProf PhysProf 1. 1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik SimPlot 1. 0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1. 0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können. Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1. Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
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