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Damit ist: Mit Koordinaten in der Ebene [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Ecken werden mit kartesischen Koordinaten beschrieben: Die Fläche lässt sich dann als der Betrag einer 2x2- Determinante oder auch einer 3x3-Determinante berechnen. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist Zum Beweis ziehe man (im Bild) von der Fläche des großen Rechtecks die halben Flächen der kleinen Rechtecke (lila Dreiecke) ab: und vergleiche beide ausmultiplizierten Ausdrücke. Dabei genügt es, die Ausdrücke für den Fall zu vergleichen, da eine Verschiebung des Koordinatensystems an den Flächeninhalten nichts ändert. Sind die Punkte im mathematisch positiven Sinn (Gegenuhrzeiger) angeordnet, können die Betragsstriche weggelassen werden. Flächeninhalt dreieck sinus problems. Der Wert der Determinante ist dann immer positiv. Mit Koordinaten im Raum [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Für das Dreieck im Raum erhält man den Flächeninhalt mit Hilfe des Vektorproduktes: ist der Winkel zwischen den Vektoren. Mit Hilfe des Skalarproduktes ergibt sich Die letzte Gleichung folgt aus.
Er ist vor allem nützlich, wenn man drei Seiten des Dreieckes gegeben hat, aber noch nichts über die Winkel weiß: mit seiner Hilfe kann man dann einen ersten Winkel berechnen. Kosinussatz: a² = b² + c² – 2bc cos alpha Spezialfälle Interessante Spezialfälle sind das rechtwinklige, gleichseitige und das gleichschenklige Dreieck. Rechtwinklige Dreieck Ein Spezialfall des Kosinussatzes ist der Satz von Pythagoras, einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Gleichseitiges Dreieck Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, dessen drei Seiten alle gleich lang sind. Dann sind – beim Dreieck – auch alle drei Winkel gleich groß und betragen 60°. Gleichseitige Dreiecke sind also zugleich gleichwinklige oder reguläre Dreiecke, sie werden auch regelmäßige Dreiecke genannt. Sinussatz und Dreieck: Berechnen eines Dreiecks. Alle gleichseitigen Dreiecke sind einander ähnlich.
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