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Es gilt also: Wir dividieren durch und erhalten Damit gilt bzw. für den Kehrwert Für die e-Funktion gilt (s. o. ): Kehrt man das Vorzeichen im Exponenten um, so erhält man den Kehrwert: Logarithmieren ergibt Damit gilt für die Zerfallskonstante und für die Halbwertszeit So lassen sich also Zerfallskonstante und Halbwertszeit in Abhängigkeit voneinander ausdrücken. Formel umstellen, Zerfall berechnen | Mathelounge. Allgemein gilt für eine beliebige Zeit t das Zerfallsgesetz. Setzen wir die hergeleiteten Zusammenhänge ein, so ergibt sich für die Zerfallskonstante und für die Zeit t Je nach Aufgabenstellung lassen sich so,,, oder berechnen: Beispielaufgaben zum Zerfallsgesetz Aufgabe 1 Bei einem radioaktiven Präparat sind ursprünglich 2, 88 · 10 20 Atomkerne vorhanden. Die Zerfallskonstante beträgt λ = 0, 1 min -1. a) Wie groß ist die Anzahl der noch nicht zerfallenden Atomkerne nach einer Stunde? gegeben: Es gilt: Das Produkt aus Zerfallskonstante und Zeit im Exponenten ergibt Eingesetzt in das Zerfallsgesetz erhält man Antwort: Nach einer Stunde sind noch 7, 139 · 10 17 Atomkerne vorhanden.
Aus der Zerfallskonstanten kann man desweiteren die Halbwertszeit einer Probe bestimmen. Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der nur noch die Hälfte der anfänglichen Anzahl an Kernen übrig ist: Daraus ergibt sich: wobei die sogenannte Abklingzeit ist. Diese ergibt sich aus den folgenden Überlegungen: Die Abklingzeit ist auch die mittlere Lebensdauer eines Teilchens, also das zeitliche Mittel der statistisch variierenden Zeiten bis zum Zerfall der Kerne. Dieses zeitliche Mittel wichtet man dann noch mit der Zerfallskonstanten. Es gilt somit: nach Einsetzen von N(t) und anschließender Integration. Hilfe - Wie geht das Zerfallsgesetz? (Mathe, Mathematik, Physik). Anders ausgedrückt sind nach noch 1/e-Kerne der anfänglichen Anzahl an Kernen übrig: Mit Hilfe der Aktivität kann man also auf die Anzahl instabiler Kerne schließen. Hierbei ist allerdings zu beachten, dass nur Teilchen einer Sorte vorhanden sein dürfen. Zerfallen nun die entstandenen Tochterkerne ebenfalls wieder, so erhält man für diese neue Zerfallskonstanten und man kann Ratengleichungen für eine Zerfallskette aufstellen.
Die Zerfallskonstante ist nur von dem Nuklid abhängig, aus dem ein radioaktives Präparat besteht: Präparate des gleichen Nuklids haben alle die gleiche Zerfallskonstante, Präparate aus verschiedenen Nukliden haben in der Regel verschiedene Zerfallskonstanten. Joachim Herz Stiftung Abb. 1 Exponentielles Abfallen der Anzahl \(N\) der noch nicht zerfallenen Atomkerne in einem radioaktiven Präparat in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) Zusammen mit der Anfangsbedingung \(N(0)=N_0\) stellt Gleichung \((1)\) eine Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung für den Bestand \(N\) dar. Zerfallsgesetz nach t umgestellt in de. Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet\[N(t) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}} \quad(2)\]Diese Gleichung \((2)\) bezeichnet man üblicherweise als das Gesetz des radioaktiven Zerfalls oder kurz Zerfallsgesetz. Der Bestand \(N\) der noch nicht zerfallenen Atomkerne in einem radioaktiven Präparat sinkt also ausgehend von einem Anfangswert \(N_0\) exponentiell mit der Zeit \(t\) ab. Die Aktivität \(A\) eines radioaktiven Präparates ist das Maß für die Anzahl der momentan in dem Präparat stattfindenden radioaktiven Zerfälle.