Zwei reelle Lösungen (D > 0) Für \( D > 0 \) lässt sich die Wurzel in den reellen Zahlen ziehen und die quadratische Gleichung hat zwei reelle Lösungen (einmal mit + vor der Wurzel, einmal mit - vor der Wurzel). Als Beispiel dient die Gleichung \( 2 \cdot x^2 + 5 \cdot x + 1 = 0 \) mit den Koeffizienten \( a = 2 \), \( b = 5 \) und \( c = 1 \). Die Diskriminante \( D \) ist offensichtlich positiv: \( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 17 > 0 \) Die zwei Lösungen der Gleichung lauten somit: \( x_{1} = -0, 2192 \) \( x_{2} = -2, 2808 \) Eine reelle Lösung (\( D = 0 \)) Für \( D = 0 \) lässt sich die Wurzel zwar auch ziehen, ergibt jedoch 0. Die quadratische Gleichung hat dann nur eine Lösung (denn +0 und -0 ergibt genau die selbe Lösung). Folgende Gleichung hat eine verschwindende Diskriminante D: \( x^2 - 2 \cdot x + 1 = 0 \) \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0 \) Die Doppellösung lautet also \( x = 1 \). Zwei konjugiert komplexe Lösungen (\( D < 0 \)) Für \( D < 0 \) lässt sich keine reelle Zahl als Lösung der Wurzel finden (denn es gibt keine reelle Zahl, die quadriert eine negative Zahl ergibt).
Führt man die imaginäre Einheit \( i = \sqrt{-1} \) ein, lässt sich eine Lösung in den komplexen Zahlen finden. Ein Beispiel für eine quadratische Gleichung mit einem Paar an konjugiert komplexen Lösungen ist folgendes: \( 5 \cdot x^2 + 2 \cdot x + 1 = 0 \) Die Diskriminante D ist kleiner 0: \( D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16 < 0 \) \( x_{1} = -0, 2 + i \cdot 0, 4 \) \( x_{2} = -0, 2 - i \cdot 0, 4 \) Herleitung der quadratischen Lösungsformeln Um die quadratischen Lösungsformeln herzuleiten, muss zuerst auf ein vollständiges Quadrat ergänzt werden. Ausgehend von der Form \( a \cdot x^2+b \cdot x + c = 0 \) wird c von dieser Gleichung subtrahiert, um nur noch Terme, die ein x beinhalten, auf der linken Seite stehen zu haben. \( a \cdot x^2+b \cdot x + c = 0 | -c \) \( a \cdot x^2+b \cdot x = -c \) Damit der erste Term der linken Seite dem ersten Term der binomischen Formel \( (e+f)^2=e^2+2ef+f^2 \) und der zweite Term der linken Seite dem zweiten Term der binomischen Formel entsprechen kann, muss noch mit \( 4a \) multipliziert werden.
Welche Funktionen hat der quadratische Gleichungs - Rechner? Der Rechner kann quadratische Gleichungen jedes Types lösen. Zusätzlich wird der schnellste + beste Lösungsweg angezeigt. Kann der Löser auch komplexe Lösungen berechnen? Ja, gehe zu Optionen --> Weitere Optionen und wähle beim Menüpunkt 'In Komplexen Zahlen lösen' Ja aus. Wie bei den reellen Zahlen, wird auch hier ein Lösungsweg angezeigt. Interpretiert der Rechner auch Bruchzahlen Ja, natürlich, gib einfach für z. B. $\dfrac{1}{3}$ 1/3 ein. Wie werden Kommazahlen eingegeben? Du kannst sowohl den. als auch, verwenden. Erkannt wird beides. Kann ich einen Graph zur Quadratischen Funktion erzeugen lassen? Ja, gehe zu Optionen --> Weitere Optionen und wähle beim Menüpunkt 'Graph der Gleichung erzeugen' Ja aus. Ich möchte z. die Gleichung $x^2-1$ mit der kleinen Lösungsformel lösen lassen. Geht das? Ja, wähle unter Optionen z. "Kleine Lösungsformel" oder "$bezeichnung_gross" aus und bei Lösungsmethode "Standardmethode". Ich habe z. die Gleichung $x^2+2x+t$ und muss einen t-Wert finden, sodass die Gleichung nur eine Lösung hat.
Rechner: Quadratische Gleichung - Matheretter Übersicht aller Rechner Online-Rechner zum Lösen von quadratischen Gleichungen mit reellen und komplexen Lösungen. Siehe auch Artikel Quadratische Gleichungen. Lösung mit p-q-Formel Gib die Werte für die Koeffizienten der quadratischen Gleichung ein und der Rest wird automatisch berechnet. Tipp: Tasten ↑ und ↓ für Wertänderungen ·x 2 + ·x = Allgemeine Form: Berechnung der Normalform: Lösung mit p-q-Formel: x 1, 2 = -( p ⁄ 2) ± √(( p ⁄ 2)² - q) Lösungen: Quadratische Gleichung Rechner: Dies sind die Formeln zum Berechnen der Quadratischen Gleichung.
Durch den Faktor vor dem quadratischen Glied wird bestimmt, ob die Parabel nach oben offen ist (positive Faktoren) oder nach unten geöffnet ist (bei negativen Faktoren) und wie steil die Parabel ist. In jeden Fall gibt es einen Scheitelpunkt und es werden durch die Parabel-Funktion nicht alle y-Werte angenommen. Das heisst: Bei positivem quadratischen Glied werden zwar alle y-Werte angenommen, die über dem Scheitelpunkt liegen, aber der y-Wert des Scheitelpunkts ist der kleinste Wert, den die Funktion annehmen kann. Bei negativem quadratischen Glied beschreibt der Scheitelpunkt den höchstmöglichen Funktionswert. Durch die Eingaben von Faktoren bei dem linearen Glied und dem Absolutglied erhalten Sie eine Verschiebungen der Parabel. Sie bleibt symmetrisch mit einem absoluten Minimum oder Maximum je nach Faktor des quadratischen Glieds. Es gibt eine, zwei oder keine Lösung bei quadratischen Gleichungen Da eine Parabel also immer einen Extrempunkt hat, ergibt sich, dass es Kombinationen von Zahlenwerten geben kann, bei denen Sie keine Lösung bekommen.
Geht das? Ja, gib bei dem c-Wert einfach statt einer Zahl 't' ein. Die Gleichung wird dann nach t gelöst. Können Wurzeln eingegeben werden? Ja! Gib einfach für die Wurzel sqrt(Wert) ein. Die Wurzel kann zudem auch mit der Multiplikation verknüpft werden. Ich kenne eine tolle neue Funktion für den Rechner. Her damit. Schicke uns eine Nachricht mittels dem Feedback-Forumlar.
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