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Wenn wir ein Produkt potenzieren, können wir dies tun, indem wir den Exponenten an jeden Faktor einzeln hinschreiben. Online-LernCenter |SCHÜLERHILFE. Das sieht man am besten an einem Beispiel: \[ \left( a b \right)^3 = (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) = \cdots \] Auf der rechten Seite können wir die Klammern aber weglassen, da in dem Ausdruck nur Multiplikationen vorkommen (und somit das Assoziativgesetz gilt). Auch dürfen wir die Reihenfolge der Faktoren vertauschen (Kommutativgesetz), so dass der Ausdruck als \[ \cdots = a \cdot b \cdot a \cdot b \cdot a \cdot b = \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{a^3} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot b}_{b^3} = a^3 b^3 \] geschrieben werden kann. Also ist \( \left( a b \right)^3 = a^3 b^3 \), was man durch Überlegen leicht für beliebige natürliche Exponenten verallgemeinern kann. Als allgemeine Regel ist die Potenz eines Produkts \(\left( a b \right)^n = a^n b^n \) Auch bei einem Quotienten gilt eine ähnliche Regel, wie wir anhand des folgenden Beispiels sehen: \[ \left( \frac{a}{b} \right)^3 = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a \cdot a \cdot a}{b \cdot b \cdot b} = \frac{a^3}{b^3} \] Auch diese Beziehung \( \left( \frac{a}{b} \right)^3 = \frac{a^3}{b^3} \) gilt natürlich auch für andere Exponenten.
5. Aufl. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1964, ISBN 3-540-03138-3. S. 286, Satz 161
Des Weiteren darf man den Wurzel- und Basisexponenten nach Belieben kürzen und erweitern. Radizieren von Wurzeln [ Bearbeiten] Eine Wurzel wird radiziert, indem man die Wurzelexponenten multipliziert. Die Wurzelexponenten dürfen auch vertauscht werden. Potenzen von Produkten und Quotienten — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.. Vorzeichenregeln beim Radizieren [ Bearbeiten] Wenn der Wurzelexponent gerade und der Radikand positiv ist, so ist das Ergebnis immer positiv. Ist der Wurzelexponent ungerade, so hat das Ergebnis immer das Vorzeichen des Radikanden. aber Eine Wurzel mit geraden Wurzepexponenten aus einer negativen Zahl ist für reelle Zahlen unlösbar. Diese kann nur mit Hilfe einer neuen Zahlenart (komplexe Zahlen, bestehen aus einem reellen und einem imaginären Anteil) dargestellt werden: Für die imaginären Einheit i setzt man bzw.
Wurzelrechnung ( Radizieren) In der Potenzrechnung waren bisher Basis und Exponent bekannt, der Potenzwert sollte ausgerechnet werden. Beim Radizieren stellt sich allerdings die Frage, welche Zahl in die -te Potenz gehoben werden muss, um z. B. die Zahl 9 zu erhalten. D. h., dass die Basis diesmal unbekannt ist. Definition [ Bearbeiten] Ist, so ist gegeben durch. Man liest: ist die -te Wurzel aus. Hierbei bezeichnet man als Wurzel, als Wurzelexponent, als Radikand. Wurzeln dividieren | Mathebibel. Ist eine gerade Zahl, so hat die Gleichung zwei Lösungen, nämlich und. Damit gilt (also ist eine reelle Zahl), muss für gerade größer oder gleich sein. Ist ungerade, so darf auch der Radikand negativ sein. Es gilt dann. Beispiele [ Bearbeiten] Gesucht sind die Zahlen, die mit sich selbst multipliziert 9 ergeben. Zuerst wird der Aufgabenstellung die wichtigen Informationen entnommen: die mit sich selbst multipliziert heißt, dass die gesuchten Zahlen quadriert (mit 2 potenziert) ergeben. Wenn wir also mit unsere gesuchte Zahl bezeichnen, so ergibt sich die Gleichung.
Der Unterschied ist die Art, wie die Divisionsaufgabe aufgeschrieben wird. Vergleiche dazu einmal Division und Bruch an einem Beispiel: Division: 62: 2 = 31 Bruch: Du kannst also jeden Quotienten auch als Bruch schreiben und umgekehrt auch jeden Bruch als Quotienten. Brüche in Dezimalzahlen umwandeln Super! Jetzt weißt du, was Quotienten sind und wie man sie berechnet. Wenn du die Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen noch genauer verstehen willst, dann schau doch einfach hier vorbei! Viel Spaß! Beliebte Inhalte aus dem Bereich Mathematische Grundlagen
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