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Dann genügt Diese Aussage ist eine echte Verbesserung gegenüber dem schwachen Gesetz der großen Zahlen von Khinchin, da aus paarweiser Unabhängigkeit von Zufallsvariablen nicht die Unabhängigkeit der gesamten Folge von Zufallsvariablen folgt. Beweisskizzen Als Abkürzungen seien vereinbart Versionen mit endlicher Varianz Die Beweise der Versionen des schwachen Gesetzes der großen Zahlen, welche die Endlichkeit der Varianz als Voraussetzung benötigen, beruhen im Kern auf der Tschebyscheff-Ungleichung, hier für die Zufallsvariable formuliert. Der Beweis von Bernoullis Gesetz der großen Zahlen ist somit elementar möglich: Gilt für, so ist binomialverteilt, also. Damit ist. Bernoulli gesetz der großen zahlen full. Wendet man nun die Tschebyscheff-Ungleichung auf die Zufallsvariable an, so folgt für und alle. Analog folgt der Beweis von Tschebyscheffs schwachem Gesetz der großen Zahlen. Ist und, ist aufgrund der Linearität des Erwartungswertes. Die Identität folgt aus der Gleichung von Bienaymé und der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen.
Ausführliche Definition im Online-Lexikon
zusammenfassende Bezeichnung für Konvergenzaussagen über Folgen von Zufallsvariablen mit großer Bedeutung für die Anwendung in der Statistik. Schwaches und Starkes Gesetz großer Zahlen machen Aussagen über die Konvergenz von arithmetischen Mitteln gegen einen Erwartungswert. 1. Beim Schwachen Gesetz großer Zahlen wird eine Folge stochastisch unabhängiger ( stochastische Unabhängigkeit) Zufallsvariablen X 1, X 2,... betrachtet, für die EX i = μ (Erwartungswert) und Var X i ≤ M < ∞ (Varianz) für eine positive Konstante M und für alle natürlichen Zahlen i gelte. Bernoulli, schwaches Gesetz der großen Zahl von - Lexikon der Mathematik. Dann konvergiert die Folge der arithmetischen Mittel
mit stochastisch gegen den Erwartungswert μ; genauer: für jedes ε > 0. 2. Sind in 1. die Zufallsvariablen speziell Bernoulli-verteilt, d. h. P(X i =1) = p und P(X i =0) = 1-p für ein p mit 0
B. β = 0, 99) Dabei gilt: β = 1 - p q n ε 2 = 1 - p ( 1 - p) n ε 2 ⇔ n = p ( 1 - p) ε 2 ( 1 - β) \beta=1-\frac{pq}{n\varepsilon^2}=1-\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \Leftrightarrow n=\frac{p(1-p)}{\varepsilon^2(1-\beta)} Die tschebyschewsche Ungleichung gestattet damit die Herleitung folgenden Zusammenhangs zwischen den Größen n, ε u n d β mit der Näherung p ( 1 - p) ≤ 1 4 p(1-p) \leq \frac{1}{4} für alle p ∊ [ 0; 1] p\in[0;1]: n ≤ 1 4 ε 2 ( 1 - β) n\leq\frac{1}{4\varepsilon^2(1-\beta)} (Diese Beziehung ist unabhängig von dem hier betrachteten Ereignis W; sie gilt für beliebige Ereignisse A. ) Beispiel 3: Wir betrachten als Beispiel β = 0, 99: ε 0, 5 0, 1 0, 01 0, 001 n 100 2500 25 000 25 000 000 Hiermit kann man dasjenige n bestimmen, welches das eigene Gewissen bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Wappen fällt" beim "Werfen" einer gezinkten (Taschenrechner-)Münze beruhigt.