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July 18, 2024, 7:59 am
Daher ist das Integral von -1 bis 1 gleich Null: Will man daher die absolute Fläche berechnen, so muss man zuerst die Nullstellen von f ( x) bestimmen, und dann jeweils von der unteren Grenze zu der Nullstelle und von der Nullstelle zu der oberen Grenze ein Integral bilden. Da die Fläche auch negativ sein kann, addieren wir den Betrag der Summen. Die absolute Fläche wäre also: Unbestimmtes Integral (Stammfunktion) Das unbestimmte Integral (auch Stammfunktion genannt), kann als Umkehrung des Differenzierens angesehen werden. Da die Ableitung die Funktion nicht vollständig bestimmt, fügen wir "+ C " an die Stammfunktion an (man kann jede beliebige Konstante an eine Ausgangsfunktion f anfügen und ihre Ableitung wird gleich bleiben). Dies ist die Integrationskonstante. Im Gegensatz zu dem bestimmten Integral, ist die Stammfunktion nicht auf einem Intervall bestimmt, sondern allgemein, die Funktion die die Fläche zwischen der x -Achse und dem Graphen bestimmt. Damit ist die Stammfunktion meistens der Ausgangspunkt für die Berechnung der Fläche.

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Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt nun: ∫ 2 4 ( x 3 + 5) d x = [ 1 4 x 4 + 5 x + C] 2 4 = ( 64 + 20 + C) − ( 4 + 10 + C) = 70 + C − C = 70 \int_2^4(x^3+5)dx=\left[\frac14x^4+5x+C\right]_2^4=(64+20+C)-(4+10+C)=70+C-C=70. Hier sieht man, dass die konkrete Wahl der additiven Konstanten C C keinen Einfluss auf den Wert des bestimmten Integrals hat. Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4. 0. → Was bedeutet das?

Die Stammfunktion ist nicht auf einem Intervall definiert. Die Prinzipien der Integrationsrechnung wurden unabhängig voneinander von Sir Isaac Newton und Gottfried Leibniz im späten 17. Jahrhundert formuliert und waren ursprünglich definiert als eine unendliche Summe aus Rechtecken unendlich kleiner Breite. Eine genauere mathematische Definition des Integralbegriffs wurde im 19. Jahrhundert von Bernhard Riemann gemacht. Vor allem in der differenziellen Geometrie spielen Integrale eine zentrale Rolle. Die ersten Verallgemeinerungen des Integralbegriffs wurden von der Physik vorangetrieben, in der Integration eine wichtige Rolle vieler physikalischer Gesetze spielt, vor allem in der Elektrodynamik. Geschichtliche Entwicklung der Integralrechnung Die erste dokumentierte mathematische Methode zur Berechnung von Flächen, also der Integration, war die Exhaustionsmethode, entwickelt vom griechischen Astronom Eudoxus von Knidos (ca. 370 v. Chr. ). Der antike griechische Philosoph Antiphon war davon überzeugt, dass man den Kreis Quartieren könne, da sich jedes beliebige andere Polygon in ein Quadrat umwandeln lässt.

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