Was ist das p ascalsche Dreieck? Konstruktion top 1 1 1...... Das Bildungsgesetz lautet wie folgt. Man geht von einem Dreieck aus drei Einsen aus. Die folgenden Zeilen beginnen und enden auch mit einer Eins. Dazwischen liegen Zahlen, die sich als Summe der beiden darüber liegenden Zahlen ergeben. So kann das Dreieck nach unten hin beliebig weit fortgesetzt werden. Binomialkoeffizient Die Zahlen des pascalschen Dreiecks gehen also sukzessive auseinander hervor. Pascalsches dreieck bis 100仿盛. Allgemein wird die Zahl in der n-ten Zeile und der k-ten Spalte nach der Formel berechnet. Die Formel geht auf Euler zurück. Sie wurde in einem ganz anderen Zusammenhang gefunden. Sie gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen auswählen kann. Diese Anzahl ist z. B. beim Lottospiel von Interesse, wo es darum geht, aus den ersten 49 Zahlen "6 Richtige" zu finden. Mehr auf meiner Seite 13 983 816. Der Term C(n, k) ermöglicht es, das Konstruktionsprinzip C(n, k-1)+C(n, k)=C(n+1, k) des pascalschen Dreiecks nachzuvollziehen.
So ist erklärlich, dass in der obigen Zeichnung die Summe der Zahlen in den gelben Feldern gleich der Zahl im blauen Feld ist. Catalan-Zahlen Die Catalan-Zahlen geben an, in wie viele Dreiecke ein n-Eck durch die Diagonalen aufgeteilt wird. Die ersten Glieder der Folge sind 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796,... (Sloane's A000108). Zum Fünfeck gehört die Catalan-Zahl 5. Bildungsgesetz...... Die Folge der Catalan-Zahlen ist im pascalschen Dreieck abzulesen, indem man in einer Zeile jeweils die Differenz aus der Zahl auf der Symmetrieachse und der übernächsten Zahl bildet. Das sind 1, 2, 6-1, 20-6, 70-28,... Fibonacci-Folge Die Fibonacci-Folge entsteht, wenn jedes Glied der Folge als Summe der beiden vorhergehenden Glieder berechnet wird. Pascalsches Dreieck - kostenloses Unterrichtsmaterial, Arbeitsblätter und Übungen - ELIXIER - ELIXIER. Auszugehen ist dabei von den ersten beiden Gliedern 1, 1. Das führt zu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... (Das erinnert an die Konstruktion des pascalschen Dreiecks oben. )...... Die Glieder der Folge sind im pascalschen Dreieck vom an als Summen enthalten.
Was sind Dreieckszahlen? Das sind die ersten 100 Dreieckszahlen: Die Folge der Dreieckszahlen entsteht aus den natürlichen Zahlen. Man gibt 1 vor und addiert nacheinander die nachfolgende Zahl: 1 1+2= 3 (1+2)+3= 6 (1+2+3)+4= 10 (1+2+3+4)+5= 15... Der Name Dreieckszahl erklärt sich aus der folgenden graphischen Darstellung. Formeln top Die allgemeine Darstellung einer Dreieckzahl ist d n = 1 + 2 + 3 + 4 +... + (n-2) + (n-1) + n, wobei n eine natürliche Zahl ist. Diese Summe kann man mit d n = n * (n + 1) / 2 zusammenfassen. Pascalsches Dreieck – kapiert.de. Beweis: d n = 1 + 2 + 3 +... + (n-2) + (n-1) + n d n = n + (n-1) + (n-2) +... + 3 + 2 + 1 ------------------------------------------ Die Terme auf beiden Seiten werden addiert. Dabei werden die rechten Terme paarweise z u (n + 1) zusammengefasst. Es gibt n Terme. 2d n =n * (n+1) d n = n * (n + 1) / 2, w. z. b. w. Es gilt die Rekursionsformel d 1 =1 und d n+1 = d n + n Besondere Dreieckszahlen Gerade und ungerade Dreieckszahlen...... Man sieht: Die geraden Dreieckszahlen in Rot und die ungeraden in Schwarz bilden in der normalen Reihenfolge Paare.
Paare zählen Gibt man z. B. 5 Objekte vor wie die Buchstaben a, b, c, d und e, so kann man nach der Anzahl der Paare fragen, die man aus ihnen bilden kann. In diesem Falle sind das die zehn Paare ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce und de. Die Anzahl ist die Dreieckszahl 1+2+3+4. Dieser Sachverhalt hat viele Anwendungen. Hier vier Beispiele: Dominosteine Gegeben sind je 8 gleiche Quadrate mit den Augen 0, 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Sie werden zu Paaren zusammengestellt. Es gibt 7+6+5++4+3+2+1=28 Steine. Das ist eine Dreieckszahl....... Es gibt auch Dominospiele mit 36 oder 45 Steinen, wenn man Quadrate mit 7 und 8 Augen hinzufügt. Jeder mit jedem...... Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien, so ergeben sich 1+2+3+... Pascalsches Dreieck - bettermarks. +(n-1) Strecken. Links ein Beispiel für n=7. Hände schütteln Bei einer Gesellschaft mit n Personen schüttelt jeder jedem die Hand. Ergebnis: Man gibt sich [1+2+3+... +(n-1)]- mal die Hand. Prost Jeder stößt mit jedem mit einem Glas Sekt an. Anzahl der Rechtecke im nxn-Quadrat......
Das Pascalsche Dreieck besitzt viele erkennbare Muster. Die Zahl 1 findet sich an den äußeren beiden Seiten des Dreiecks. Alle übrigen Zahlen sind die Summe der beiden oberen Zahlen (siehe Abbildung links). Die Erweiterung von (a+b) 6 Um die nächste Reihe im Pascalschen Dreieck zu finden, müssen also nur die beiden oberen Zahlen addiert werden. So erhalten wir auch die Koeffizienten für das Binom ( a + b) 6. Die erste Reihe ist immer 1; Der zweite Koeffizient ist 1+5 bzw. 6; Der dritte Koeffizient ist 5+10 bzw. Pascalsches dreieck bis 100 000. 15; Der vierte Koeffizient ist 10+10 bzw. 20; Der fünfte Koeffizient ist 10+5 bzw. 15; Der sechste Koeffizient ist 5+1 bzw. 6; Der letzte Koeffizient ist immer 1; Damit erhalten wir: a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3 b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6
Das ist nämlich dann ein echtes Excel-Problem, das in dieses Forum gehört. 26. 2002, 13:45 # 7 A. S. Hallo Johannes, ich habe das gerade mal händisch (ok, nen paar Makros und Copy&Paste war'n auch dabei) in Excel nachvollzogen und muß sagen: Das ist eine Strafarbeit, und zwar für einen der nicht nur seine Mathe- oder Informatik-Prof, sondern gleich den ganzen Lehrkörper (oder schreibt man den mit 2 'e'?!? ) und sämtliche Verwandten und Anverwandten gleich mit erschlagen hat Da wünsche ich nur: "Viel Spaß, dabei! " Gruß Arno PS Wenn der Pauker 'nen Nickel ist, will er keine Exponentialzahlen sehen [ 26. Oktober 2002: Beitrag editiert von: A. S. Pascalsches dreieck bis 10. ] 28. 2002, 07:08 # 8 MOF Koryphäe Registrierung: 11. 2000 Ort: Deutschland, 60529 Frankfurt Karma: Moin Leute, ich verfolge die Entwicklung hin zum Pascalschen Dreieck mit Excel mit ner gewissen Neugier, weil ich schon gerne wüßte wie man das umsetzt... @Johannes: das ist doch nicht die einzige Formel, um Binomialkoeffizienten zu berechnen, oder?
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