Eine bekannte Reihe ist die geometrische Reihe. Für ist diese Reihe (absolut) konvergent, der zugehörige Reihenwert ist. Für erhält man etwa: Den Wert einer Reihe zu bestimmen, kann sehr schwierig sein und lässt sich mit Ausnahme einiger feststehende Ausdrücke in der Regel nicht auf bloßes Einsetzen in eine Formel reduzieren. Ob eine Reihe konvergent ist, lässt sich aber (in abgestimmten Klausursituationen) in der Regel mit einigen einfachen Kriterien überprüfen. Neben dem Majoranten- und Minorantenkriterium, welche Grundwissen über einige konvergente bzw. divergente Reihen erfordern, sind vor allem das Quotienten- und Wurzelkriterium einfach anzuwenden. Wir greifen an dieser Stelle exemplarisch das Quotientenkriterium auf. In einer möglichen Form besagt dieses: In dieser Form lässt sich das Kriterium sehr leicht auf die nachfolgende Reihe anwenden, um die Konvergenz nachzuweisen: ist (absolut) konvergent. Mit bzw. ist für alle und es gilt: Damit ist die Reihe nach dem Quotientenkriterium (absolut) konvergent.
Wir haben gerade einer unendlichen Summe einen Wert zugeordnet. Doch jetzt stellt sich die Frage, wie wir das intuitive Konzept einer unendlichen Summe exakt definieren können. An dieser Stelle eröffnen sich einige Fragen: Wie können wir generell den Wert einer unendlichen Summe bestimmen? Gibt es unendliche Summen, denen wir keinen Wert zuweisen können? Wie unterscheidet man unendliche Summen, denen ein Wert beziehungsweise denen kein Wert zugewiesen werden kann? In diesem Kapitel stellen wir mit dem Konzept der Reihe die formale Definition einer unendlichen Summe vor. Wir werden Reihen mit Hilfe von Partialsummen (= "Teilsummen") definieren. Die Partialsummen bauen auf dem Begriff der endlichen Summe auf. In späteren Kapiteln beantworten wir die Frage, welchen unendlichen Summen wir einen Wert zuweisen können und welchen nicht. Endliche Summen [ Bearbeiten] Sigmaschreibweise für endliche Summen Eine endliche Summe ist (wie der Name schon ahnen lässt) nichts anderes, als eine Summe mit endlich vielen Summanden.
Endliche und unendliche Reihen Wichtige Reihen in der Mathematik Arithmetische Reihe Geometrische Reihe Eine Reihe ist in der Mathematik eine Summe über die Glieder einer Folge. Die Reihe über die ersten n Glieder einer Folge (a n) wird als s n bezeichnet. Mathematisch werden Reihen über das Summenzeichen notiert und es gilt: Einige wichtige Reihen in der Mathematik sind: Formel Bedeutung Gaußsche Summenformel Arithmetische Reihe Geometrische Reihe Unendliche geometrische Reihe für -1 < q < 1 Endliche und unendliche Reihen Wir unterscheiden zwischen endlichen und unendlichen Reihen, je nachdem, ob n endlich ist oder nicht. Der Wert einer unendlichen Reihe beträgt: Dieser Wert ist nur definiert, falls die Reihe für große Werte von n konvergiert. Das bedeutet, es muss einen Wert s geben, so dass für jeden beliebig kleinen Bereich um s ein n' existiert mit der Eigenschaft, dass alle s n für n > n' innerhalb dieses Bereiches liegen. Wichtige Reihen in der Mathematik Arithmetische Reihe Eine arithmetische Reihe ist die Summe über die ersten n Glieder einer arithmetischen Folge.
habe ein kleines Problem mit folgenden Aufgaben: 1) Zu ermitteln ist, ob die Reihe konvergiert und der Reihenwert; $$ \sum _{ n=2}^{ \infty}{ \frac { { 2}^{ n+2}}{ { 3}^{ n}}} $$ nach dem Quotientenkriterium konvergiert sie. Bzgl. des Reihenwertes haben wir den Tipp bekommen, dass man die geometrische Reihe anwenden könnte Als erstes habe ich eine Indexverschiebung gemacht mit: $$ \sum _{ n=0}^{ \infty-2}{ \frac { { 2}^{ n+4}}{ { 3}^{ n+2}}} $$ Die Reihe oben ist dann nach der geometrischen Reihe: $$ \frac { \frac { { -1+(2)}^{ n+1}}{ 2-1}}{ \frac { { -1+(3)}^{ n+1}}{ 3-1}} $$ = $$ { [-1+(2)}^{ n+1}]*\frac { 2}{ { -1+(3)}^{ n+1}} $$ = $$ \frac { -2+{ 2}^{ n+2}}{ -1+{ 3}^{ n+1}} $$ Mein Problem ist jetzt, wie ich weiter rechnen muss, um auf den Reihenwert zu kommen Danke für alle Antworten Gruß
Aber ich denke, dass ich das Prinzip nun verstanden habe! Was ist wenn |q|=1 und |q|>1? Ist es dann divergent? Original von Che Netzer Auch wenn es etwas länger zurückliegt. Korrekt ist.
Mit dieser Formel können wir die Partialsumme explizit berechnen. Wir erhalten: Die geometrische Reihe konvergiert also genau dann, wenn die Folge konvergiert. Dies ist genau dann der Fall, wenn eine konvergente Folge ist. Nun wissen wir, dass gegen konvergiert, wenn ist, und gegen konvergiert, wenn ist. Den Fall haben wir in diesem Abschnitt aber ausgeschlossen. Damit erhalten wir zunächst: Wenn ist, dann konvergiert die geometrische Reihe. Berechnen wir nun den Grenzwert der geometrischen Reihe für: Alternativ lässt sich die Konvergenz der geometrischen Reihe für auch direkt mit der Definition beweisen. Aufgabe (Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe) Zeige, dass die geometrische Reihe für gegen konvergiert. Wie kommt man auf den Beweis? (Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe) Wir müssen zeigen, dass es zu jedem ein gibt, so dass für alle Mit der geometrischen Summenformel gilt nun Da die geometrische Folge für gegen Null konvergiert, gilt dies auch für.
Jedoch können oft Abschätzungen gefunden werden. So werden wir bei alternierenden Reihen mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums eine Fehlerabschätzung der Restglieder für solche Reihen herleiten. Ebenso können bei Taylorreihen Fehlerabschätzungen gefunden werden.
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Zusätzlich besteht die Möglichkeit einer weiteren Aufstockung mit Wohnungen im nördlichen Bereich des Grundstücks.