Zyklische Variable und Integrale der Bewegung Tritt eine Variable, z. B., die das System beschreibt, in der Lagrangefunktion nicht auf, heißt sie zyklisch. Zum Beispiel im Zentralproblem ist die Variable zyklisch. Wegen des periodischen Charakters von bei gebundenen Zuständen ist der Name zyklisch zutreffend; davon wird er mit der neuen Bedeutung auf den allgemeinen Fall ( 12. 27) übertragen, selbst wenn die Bewegung nicht mehr periodisch ist. Aus der Lagrangeschen Gleichung 2. Art für, Gl. ( 11. 38), und aus der Definition des kanonischen Impulses, Gl. ( 12. 9), folgt, dass der zur zyklischen Variablen, konjugierte Impuls, zeitlich konstant, also ein Integral der Bewegung, ist: Die verallgemeinerte Geschwindigkeit,, muß aber in der Lagrangefunktion vorkommen, sonst ist die Variable sinnlos. Aus der vorhergehenden Gleichung folgt, daß auch in der Hamiltonfunktion nicht vorkommt: ( 12 29) Zusammenfassend: Jede zyklische Koordinate ist in der Hamiltonfunktion nicht enthalten, wohl aber ihr konjugierter Impuls.
Im zwei- und dreidimensionalen Raum unserer Anschauung sind dies die Komponenten des Drehimpulses, der demnach unter den gegebenen Bedingungen, zum Beispiel in einem Zentralkraftfeld, ein Integral der Bewegung ist. Methoden zur Gewinnung der Integrale [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Folgende Methoden sind bei der Gewinnung der Integrale gebräuchlich: Bei der mehr oder weniger systematischen Suche nach Zusammenhängen in experimentellen oder numerisch simulierten Daten können Konstanten auffallen und im Nachhinein als solche anhand der Bewegungsgleichungen mathematisch nachgewiesen werden. In der Kreiseltheorie wurden mit Erfolg allgemeine, mit Parametern versehene Ansätze gemacht und anhand der Bewegungsgleichungen diejenigen Parameter gesucht, die auf Konstanten führen. Im Lagrange-Formalismus weisen zyklische Koordinaten auf erste Integrale hin. Mit dem Hamilton-Jacobi-Formalismus werden systematisch zyklische Koordinaten konstruiert, wobei sich das Auffinden eines Integrals auf die Lösung der Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung verlagert.
Startseite Lexika Lexikon der Mathematik Aktuelle Seite: Lexikon der Mathematik: Integral der Bewegung für ein gegebenes dynamisches System jede reellwertige C ∞ -Funktion, die längs der Integralkurven des dem System zugrundeliegenden Vektorfeldes konstant ist. Copyright Springer Verlag GmbH Deutschland 2017 Schreiben Sie uns! Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können. Die Autoren - Prof. Dr. Guido Walz Artikel zum Thema Deutsche Welle: Woher kommt unsere Zeiteinteilung? Ein jahrtausendealtes Zahlensystem prägt unsere Zeiteinteilung. Entwickelt wurde es von den Babyloniern vor über 5000 Jahren. Ein Video. Freistetters Formelwelt | Wozu ein Teleskop ein Ruder braucht Der Mathematische Monatskalender | Christoff Rudolff: Wurzel ziehen als Leidenschaft Urknall, Weltall und das Leben | Astronomische Koordinatensysteme Die fabelhafte Welt der Mathematik | Ist die Lampe ein- oder ausgeschaltet?
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Zwar kann man jede Hamilton-Funktion in Potenzreihengestalt in DFS-Normalform überführen, indem man Grad für Grad homologische Gleichungen löst und entsprechend Lie-transformiert. Daß aber das Resultat dieser sukzessiven Transformationen für konvergiert, ist keineswegs sichergestellt. Beispielsweise kann im Falle eines nichtintegrablen Systems mit zwei Freiheitsgraden der Bewegung die Normalform-Transformation nicht konvergieren, weil man sonst ein zweites Integral der Bewegung erhielte. Dessen Existenz ist aber für ein nichtintegrables System gerade ausgeschlossen. Wir gehen an dieser Stelle noch auf den Begriff des Quasiintegrals ein. Selbst in dem Fall, daß die Transformation der Hamilton-Funktion auf Normalform konvergiert, werden wir in der Praxis die Berechnung der Normalform und damit auch des Integrals bei einem endlichen Grad abbrechen, weil die homologische Gleichung für jeden Grad neu gelöst werden muß und man in der Regel kein allgemeines, für alle gültiges Transformationsgesetz findet.
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