Binomische Formel: $(a+b)^2=a^2 + 2ab+b^2$ 2. Binomische Formel: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 3. Binomische Formel: $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$ Die 1. Binomische Formel: $(a+b)^2=a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$ Das obige Quadrat hat die Kantenlänge (a+b). Man sieht direkt, dass ein Quadrat (blau) mit der Fläche a 2 sowie ein kleineres Quadrat (rot) der Fläche b 2 hineinpassen. Zusätzlich passen jedoch auch noch zwei gleich große Rechtecke (grün) hinein, die die Fläche a ⋅ b haben. Im folgenden Bild ist dieser Zusammenhang nochmals dargestellt: Die 2. Binomische Formel $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ Wir nehmen an, das große Quadrat habe die Seitenlänge a. Wird diese um die Strecke b verkürzt, erhält man die Strecke (a-b). Aus dem großen Quadrat erhalten wir das kleine mit der Seitenlänge (a-b), indem wir zweimal das Rechteck mit der Fläche a ⋅ b haben wir jedoch das kleine Quadrat mit der Kantenlänge b und der Fläche b 2 zuviel subtrahiert, daher müssen wir dieses wieder addieren: (a-b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Lösung zu den Aufgaben am Anfang: $(a+b) \cdot (c+d)= a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$ $(a+b) \cdot (a+b) = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$ (damit ist das die 1.
Hierin finden wir also die erste binomische Formel wieder: Herleitung der 3 binomischen Formeln Die binomischen Formeln werden hergeleitet, in dem zuerst die Potenz hoch zwei aufgelöst wird in die Multiplikation zweier Summen (bzw. zwei Differenzen oder einer Summe mit einer Differenz). Anschließend wird zuerst die Summe in der vorderen Klammer ausmultipliziert. Jeder der beiden Summanden wird mit der zweiten Klammer multipliziert. Anschließend wird auch die zweite Klammer ausmultipliziert. Wir haben nun vier Summanden mit unterschiedlichen Vorzeichen. Zwei der Summanden sind die Quadrate von a und b. Die beiden anderen Summanden jeweils das Produkt aus a und b. Die drei binomischen Formeln unterscheiden sich in den Vorzeichen ihrer Summanden. Durch Zusammenfassung der Summanden werden die binomischen Formeln in ihre endgültige Form aus drei, bzw. zwei Summanden gebracht. Herleitung der 1. binomischen Formel
Grafischer Beweis der ersten binomischen Formel Die Flächeninhalte der Quadrate sind gleich groß, werden aber unterschiedlich errechnet. Der Flächeninhalt des linken Quadrats ergibt sich aus der Multiplikation der Seitenlängen: $A_{links} = (a + b) \cdot (a + b) = (a + b)^2$ Im rechten Quadrat rechnen wir den Flächeninhalt aus, indem wir die Flächeninhalte kleinerer Flächen addieren. Wir zerlegen das große Quadrat in ein kleineres Quadrat mit den Seitenlängen $a$, ein weiteres kleines Quadrat mit den Seitenlängen $b$ und zwei Rechtecke mit den Seitenlängen $a$ und $b$. Daraus ergeben sich folgende Flächeninhalte: $A_{1} = a^2$ $A_{2} = b^2$ $A_{3} = a \cdot b$ Rechnen wir die Flächeninhalte des rechten Quadrats nun zusammen und beachten dabei, dass das innere Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ zweimal vorkommt, erhalten wir folgenden Gesamtausdruck: $A_{rechts}= a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2$ Da der Flächeninhalt des rechten gleich dem des linken Quadrates ist, gilt: $A_{links} =A_{rechts}$ $ (a+b)^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2$ Wir erhalten die erste binomische Formel.
Karl Huber, der Leiter der Verkehrsaufsicht beim Tiefbauamt, bietet folgende Strecke an: Rothenburger Straße – Holzschuherstraße – Berta-von-Suttner-Straße und zurück zur Rothenburger Straße. Den Autofahrern mit weiter entfernten Zielen empfiehlt er die Route über die Holzschuherstraße und Witschelstraße zur Von-der-Tann-Straße, von der sich über die Gustav-Adolf-Straße die Wege nach Stein und Eibach öffnen. Außerdem besteht die Möglichkeit, ab der Von-der-Tann-Straße wieder in die Rothenburger Straße in Richtung Fürth-Süd einzubiegen. Baudirektor Karl Hörber hat noch einen winzigen Umbauplan in der Schublade, der aber dennoch von vielen Nürnberger Autofahrern freudig begrüßt werden wird. Wie erst in diesem Jahr bei der Straßenbahn-Endhaltestelle an der Schweinauer Hauptstraße vorexerziert, soll an einem weiteren wichtigen Punkt des Staßennetzes Luft gemacht werden: an der Einmündung der Inneren Cramer-Klett-Straße in den Rathenauplatz. Nürnberger straße 14 mai. Statt der bisher zwei Fahrspuren bekommt der Rathenauplatz stadteinwärts deren drei.
Vorschaubild: © Markus Hack / Stadt Nürnberg
© Hans Kammler Während am Schlachthof der Verkehr stadteinwärts schon auf der neuen Fahrbahn rollen kann (rechts), beginnt heute der Umbau der restlichen Straßenflächen in der Rothenburger Straße. Die Kraftfahrer müssen stadtauswärts nach neuen Wegen suchen. - Wo noch vor einem halben Jahr das rote Backsteingemäuer des Schlachthofs stand, präsentiert sich jetzt schon ein Stückchen neuer Straße. Nürnberger straße 13 berlin. Auf der Baustelle Rothenburger Straße ist die stadteinwärts führende Fahrbahn zum Teil fertiggestellt und freigegeben worden. Damit aber die Arbeiten – darunter auch der Gleisbau für die Straßenbahn und die Verlegung einer Gasleitung – weitergehen können, muß ab heute der stadtauswärts rollende Verkehr nach Umwegen und Schleichpfaden suchen. Die Stadt hofft dabei erneut auf die Geduld der Autofahrer. Bis Ende Oktober soll das Stück zwischen der Schlachthof- und Kreutzerstraße umgebaut sein. Zwei Fahrbahnen mit je zwei 3, 50 Meter breiten Spuren, ein gepflastertes Bett für die Straßenbahn, Signalanlagen und Abbiegespuren: so steht es in den Plänen, nach denen dem Engpaß im westlichen Stadtgebiet zu Leibe gerückt wird.
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