Unterscheidung nach Stelligkeit [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wie bei der Untersuchung anderer Funktionstypen auch, unterscheidet man Boolesche Funktionen gerne nach ihrer Stelligkeit. Aufgrund der auf die Binärzahlen eingeschränkten Definitions- und Wertebereiche sind niederstellige Boolesche Funktionen verhältnismäßig einfach zu handhaben. So gibt es überhaupt nur 4 verschiedene einstellige Boolesche Funktionen, die man als Identität, Negation, konstante 1 und konstante 0 bezeichnen kann. Für die Boolesche Algebra ist hier insbesondere die Negation von Bedeutung. Die Anzahl der zweistelligen Booleschen Funktionen beträgt bereits 16. Zu den wichtigsten zählen dabei Konjunktion, Disjunktion, Äquivalenz, Antivalenz, NAND und NOR. Es existieren allgemein -stellige Boolesche Funktionen. Beispielsweise existieren verschiedene vierstellige Boolesche Funktionen. Online-Rechner: Vereinfachung von mathematische Gleichung. Im Folgenden werden Boolesche Funktionen verschiedener Stelligkeit näher beschrieben. Nullstellige Funktion [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] 2 2 0 = 2 1 = 2 Das sind die zwei Konstanten 1 und 0, auch wahr und falsch, verum und falsum, true und false genannt.
Einstellige Funktion [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] 2 2 1 = 2 2 = 4 Die vier möglichen Booleschen Funktionen mit einer Variablen sind: x 0 1 Funktion ( y =) Name f 0 Kontradiktion f 1 Identität f 2 ¬ x = x = 1 − x Negation f 3 Tautologie Zweistellige Funktion [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Für zwei Variablen gibt es 2 2 2 = 2 4 = 16 verschiedene Boolesche Funktionen.
Zusätzlich benötigt man das NOT. Für einen Schaltungsentwurf hat dieser Umstand einen Vorteil: Es werden lediglich zwei Grundschaltungen benötigt, die dieses vollständige System ((AND oder OR) und NOT) realisieren. Durch eine entsprechende Kombination der Grundoperatoren können dann alle anderen Operatoren gebildet werden. Die NAND -Verknüpfung bzw. NOR -Verknüpfung stellt bereits jeweils ein solches vollständiges System dar. Normalformen (DNF, KNF, RSNF) [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Jede Boolesche Funktion lässt sich in einer Normalform darstellen. Partiell symmetrische Boolesche Funktion - Lexikon der Mathematik. Eine Überführung von einer Normalform in eine andere ist möglich. Normalformen sind nützlich für bestimmte Algorithmen, Schaltungen oder Beweise. Beispiele von Normalformen sind: Disjunktive Normalform (DNF) Konjunktive Normalform (KNF) Ringsummennormalform (RSNF) Besondere Boolesche Funktionen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die immer wahr berechnende Funktion heißt Tautologie. Die immer falsch berechnende Funktion heißt Kontradiktion.
Boolsche Ausdrücke sind Ausdrücke, die einen Wert vom primitiven Typ boolean liefern. Er kann true oder false sein. Boolean ist ein primitiver Datentyp, der die Werte true oder false annehmen kann. Er dient im Wesentlichen zur Unterscheidung ob eine Bedingung zutrifft oder nicht und in der Folge dessen, ob und welche Anweisungen ausgeführt werden. Die Syntax der Fallunterscheidungen selbst wird in den Artikeln zur if-Verzweigung und zur switch-case-Verzweigung behandelt. boolean b = true; if(b) { ("b ist true");} Boolsche Ausdrücke sind häufig zusammengesetzt, sodass mehrere boolsche Werte gemeinsam ausgewertet werden. boolean a = false; ("a:false, b: true, (a && b) - " + (a && b)); //false ("a:false, b: true, (a || b) - " + (a || b)); // true a = true; b = true; ("a:true, b: true, (a && b) - " + (a && b)); // true ("a:true, b: true, (a || b) - " + (a || b)); // true a = false; b = false; ("a:false, b: false, (a && b) - " + (a && b)); // false ("a:false, b: false, (a || b) - " + (a || b)); // false Bei der Auswertung der den OR-Operator ( ||) nutzenden Ausdrücke muss die Reihenfolge berücksichtigt werden, da Java einen Mechanismus unterstützt, der als Short-circuit evaluation bekannt ist.
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