Beispiel 2: Zu bestimmen sind die Achsenschnittpunkte von Um mögliche Schnittpunkte mit des x- Achse zu bestimmen, ist der Aufwand etwas größer. Dazu sind die Nullstellen von f (x) zu bestimmen. Um die Schnittpunkte mit der x- Achse, also die Nullstellen einer Exponentialfunktion zu bestimmen, ist es in vielen Fällen erforderlich, eine Exponentialgleichung zu lösen. Zusätzlich zu den bekannten Operationen, die zur Lösung von Gleichungen verwendet werden, ist es bei der Lösung von Exponentialgleichungen nötig, die Potenz- und die Logarithmengesetze zu kennen. Berechnung von Schnittpunkten bei der Exponentialfunktion - YouTube. Potenz- und Logarithmengesetze Da wir im folgenden die Potenz- und Logarithmengesetze brauchen werden, habe ich hier noch einmal die wichtigsten zusammengefasst: Im Zusammenhang mit e-Funktionen haben Potenzen mit der Basis e und natürliche Logarithmen eine besondere Bedeutung. Trainingsaufgaben: Anwendung der Potenz- und Logarithmengesetze Formen Sie folgende Potenz- und Logarithmenterme unter Verwendung der Potenz- und Logarithmengesetze um.
Je größer \(a\) ist, desto steiler verläuft der Graph. Exponentialfunktionen mit \(0 \lt a\lt 1\) Ist die Basis der Exponentialfunktion zwischen Null und Eins, dann ist die Funktion streng monoton fallend. Je kleiner \(a\) ist, desto steiler verläuft der Graph. Besonderheiten der Exponentialfunktionen Womöglich ist es dir schon aufgefallen, die Funktionsgraphen von \(\frac{1}{2}^x\) und \(2^x\) werden durch eine Spiegelung an der \(y\)-Achse aufeinander abgebildet. Das gilt natürlich auch im Allgemeinen für \(a^x\) und \(\frac{1}{a}^x\). Regel: Für alle Exponentialfunktionen der Form \(f(x)=a^x\) gilt: Die Funktion hat keine Nullstellen. Der Graph der Funktion besitzt kein Symmetrieverhalten. Der Funktionsgraph geht durch den Punkt \(P(0|1)\). Für \(a\gt 1\) ist die Funktion streng monoton steigend. Für \(0\lt a\lt 1\) ist die Funktion streng monoton fallend. Die \(x\)-Achse ist Asymptote für den Graphen. Streckung und Spiegelung der Exponentialfunktion Wenn man die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion mit einer Konstante multipliziert, dann kann man den Graphen strecken und an der \(x\)-Achse spiegeln.
In diesem Beispiel soll der Graph der Exponentialfunktion f(x) = b^{x} durch den Punkt P(4/16) verlaufen. Aus P(4/16) liest man x = 4 und y = 16 heraus. Dies setzt man in die Funktionsvorschrift ein und erhält: 16 = b^{4} und löst dann schrittweise nach b auf. 16 = b^{4} | \sqrt[4]{} x = \sqrt[4]{16} = 2 Die gesuchte Exponentialfunktion lautet also f(x) = 2^{x} Ähnlich kann man auch die Funktionsvorschrift bzgl. f(x) = a•b^{x} bestimmen. Im Beispiel soll der Graph der Exponentialfunktion f(x) = a•b^{x} durch die Punkte A(2/1) und B(3/5) verlaufen. Man setzt jeweils die Werte von x und y in die Funktionsvorschrift ein und erhält somit 2 Gleichungen. 1 = a•b^{2} und 5 = a•b^{3} | Löse die erste Gleichung nach a auf, um sie in die zweite einzusetzen. a = \frac{1}{b^{2}} | Setze a in die zweite Gleichung ein 5 = \frac{1}{b^{2}}•b^{3} = b | Setze nun b = 5 in a = \frac{1}{b^{2}} ein a = \frac{1}{5^{2}} = \frac{1}{25} Die gesuchte Funktionsvorschrift lautet somit f(x) = \frac{1}{25} • 5^{x} Um Textaufgaben zu lösen, muss man wissen, dass a der "Startwert" und b der "Wachstumsfaktor" ist.