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Im Gegensatz zur Potenzfunktion, wo die Variable in der Basis steht, steht bei der Exponentialfunktion die Variable im Exponenten. Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion Unter einer Exponentialfunktion mit der Basis versteht man eine reelle Funktion der Form: bedeutet, dass a (genannt: "die Basis") größer als 0 ist und gleichzeitig nicht 1 sein darf. Im Exponenten steht die Variable x. Exponentialfunktion zusammenfassung pdf gratuit. Weil im Exponenten die Variable steht, heißt diese Funktion "Exponentialfunktion". Die Exponentialfunktion mit einem Vorfaktor b Eine Exponentialfunktion kann auch einen Vorfaktor b haben, dieser Faktor ist eine reelle Zahl, die aber nicht 0 sein sollte. Sonst wäre das gesamte Ergebnis der Funktion schließlich 0. Die Funktionsgleichung sieht dann folgendermaßen aus: Im Folgenden siehst du ein paar Beispiele, wie ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion mit Vorfaktor aussehen könnte: Die natürliche Exponentialfunktion und die Euler´sche Zahl Besonders wichtig für die Umkehrfunktion und auch die Differenzier- und Integrierbarkeitsrechnung, ist die Euler´sche Zahl e.
Differentialgleichung (3) Hierbei ist der Quotient der Produkte für die Parameter so aufzufassen, dass und Für den Fall, dass, ergibt sich auf Grund der vorausgegangenen Festlegung und die Differentialgleichung (3) nimmt folgende Gestalt an Spezielle hypergeometrische Funktionen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Funktion 0 F 0 [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wie eingangs angedeutet, entspricht der Exponentialfunktion. Die Funktion erfüllt die Differentialgleichung: Beweis Die Funktion 0 F 1 [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Funktion vom Typ ist die sog. konfluente hypergeometrische Grenzfunktion. Die Reihe genügt der Differentialgleichung: Sie steht eng in Zusammenhang mit den Besselfunktionen: wobei die Besselfunktion ist mit als modifizierte Besselfunktion Abgeleitete Funktionen der Reihe sind beispielsweise: oder. Beispiel [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Betrachtet werden soll die Kosinusfunktion: Hier nutzten wir, dass ist und somit usw. Exponentialfunktion zusammenfassung pdf 2016. Wie man sieht, kürzen sich die Terme überall heraus; die verbleibenden Brüche kann man leicht zusammenfassen zu Die Funktion 1 F 0 [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Ebenfalls direkt als elementare Funktion erfüllt die Differentialgleichung: Hierbei wurde der Binomialkoeffizient in der Analysis mit der Identität benutzt.