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Satz (Spalten- und Zeilenentwicklung) Seien K ein Körper und n ≥ 2. Für alle A ∈ K n × n und 1 ≤ i, j ≤ n sei A ij ′ ∈ K (n − 1) × (n − 1) die Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. Dann gilt für alle Matrizen A ∈ K n × n und alle Spaltenindizes 1 ≤ j ≤ n det A = ∑ 1 ≤ i ≤ n (−1) i + j a ij det A ij ′. (Entwicklung nach der j-ten Spalte) Analog gilt für alle Zeilenindizes 1 ≤ i ≤ n det A = ∑ 1 ≤ j ≤ n (−1) i + j a ij det A ij ′. Laplacescher Entwicklungssatz- Beweis | Mathelounge. (Entwicklung nach der i-ten Zeile) Der Entwicklungssatz stellt eine weitere Möglichkeit der Berechnung von Determinanten dar. Besonders geeignet ist er für Matrizen, die eine Zeile oder Spalte mit vielen Nulleinträgen besitzen. Beweis des Entwicklungssatzes Wesentliches Hilfsmittel sind die n × n-Matrizen A ij = a 11 … 0 … a 1 n … … … … … 0 … 1 … 0 … … … … … a n 1 … 0 … a nn ∈ K n × n, bei denen die i-te Zeile von A mit e j und die j-te Spalte von A mit e i überschrieben ist. Die Determinanten der Matrizen A ij und A ij ′ stimmen bis auf ein von der Stelle (i, j) abhängiges Vorzeichen überein: Es gilt det A ij = det a 1 … e i … a n = (−1) i − 1 + j − 1 det 1 0 0 A ij ′ = (−1) i + j det A ij ′, wobei wir im zweiten Schritt eine (i − 1) -malige Zeilen- und eine (j − 1) -malige Spaltenvertauschung durchführen.
Schauen wir uns einmal an, welche Art von Zufallsversuch kein Laplace-Experiment ist. Es gibt einige Zufallsversuche, bei denen nicht alle möglichen Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. links: falscher Würfel; rechts: Reißzwecke Dazu gehören beispielsweise Würfel, bei denen eine bestimmte Zahl auf mehr als einer Seite abgebildet ist oder das Werfen einer Reißzwecke, die auf Grund ihrer Form nicht auf jeder Seite gleich wahrscheinlich liegen bleibt. Nun weißt du, was ein Laplace-Experiment in Mathe ist, welche Regeln bei Laplace gelten und wie du die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten bestimmen kannst. Vertiefe dein Wissen zu Laplace und Wahrscheinlichkeit in unseren Aufgaben. Entwicklungssatz von laplace definition. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
Im Folgenden haben wir diese Auswirkungen für dich zusammengefasst. Merke Hier klicken zum Ausklappen Folgenden Regeln bei der Umformung von Matrizen sollten bekannt sein und können dadurch eine Berechnung vereinfachen: Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente. Die Determinante ist linear in jeder Spalte. Das Tauschen von 2 Spalten führt zum Vorzeichenwechsel der Determinanten. Entwicklungssatz von laplace pdf. Die Determinante einer Matrix mit linear abhängigen Spalten ist stets gleich Null. Die Determinante ändert sich nicht, wenn man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen addiert. Eine Matrix ist nur dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.
Was ist aber die Streichmatrix? Nun, das ist Matrix, die entsteht, wenn Du von dem Element $$a_{i, j}$$ ausgehend die i-te Zeile und j-te Spalte der Matrix streichst. Beispiel: Du musst dieses Verfahren für jede Spalte (wenn Du nach einer Zeile entwickelst) oder für jede Spalte (wenn Du nach einer Zeile entwickelst) durchführen, also bis n. Zur Berechnung der Determinante der Streichmatrix verwendest Du dann wieder dieses Prinzip (Rekursion). Mit diesem Wissen ausgestattet ist die obige Aufgabe ziemlich leicht. Wenn Du die Determinante nämlich nach der ersten Zeile entwickelst, dann gilt: Das Vorzeichen ist positiv, weil Du mit dem Element in der ersten Spalte und ersten Zeile beginnst, also $$(-1)^{1+1}=1$$ Der Vorfaktor ist b und die Streichmatrix ist der lila eingerahmte Matrizenausschnitt. Du erhältst dadurch die rechte Seite Deiner Gleichung. Warum bist Du an dieser Stelle bereits fertig? Ganz einfach: die Vorfaktoren im Rest der Zeile sind alle 0, d. h. selbst wenn Du für jedes Zeilenelement Vorzeichen, Streichmatrix etc. Laplace'scher Entwicklungssatz - elektro-archiv.de. bestimmst, hat das auf das Ergebnis keinen Einfluss.
12. 08. 2011, 04:11 Pascal90 Auf diesen Beitrag antworten » Eigenwerte mit Laplace'scher Entwicklungssatz Meine Frage: Gegeben ist Folgende Matrix Zu dieser sollen die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt werden.
(3) Zweimaliges Entwickeln nach der zweiten Zeile liefert det 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 − 1 = det 1 0 1 0 1 0 1 0 − 1 = det 1 1 1 − 1 = −2. (4) Entwickeln nach der dritten und dann nach der zweiten Spalte ergibt det 1 2 0 3 4 5 1 7 1 − 2 0 1 2 0 0 4 = −det 1 2 3 1 − 2 1 2 0 4 = 2 det 1 1 2 4 + 2 det 1 3 2 4 = 2 · 2 + 2 · (−2) = 0.