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Beim vom Rechner verwendeten Koordinatensystem sind das die Trägheitsmomente bezüglich der x- und der z-Achse, da diese Körper rotationssymmetrisch um die y-Achse sind. Bei einer Kugel und bei einem Würfel sind sogar alle drei Massenträgheitsmomente gleich groß. Das Trägheitsmoment eines Kegelmantels entspricht dem Trägheitsmoment eines Vollzylinders (jeweils auf die y-Achse bezogen). Zusammengesetzte Massenträgheitsmomente & Satz von Steiner Einen komplexen Körper kann man meist aus mehreren einfachen Teilkörpern zusammensetzen. Massenträgheitsmoment Zylinder herleiten| Physik | Mechanik starrer Körper - YouTube. Die Massenträgheitsmomente von Teilkörpern kann man beliebig addieren bzw. auch subtrahieren, wenn sich deren Schwerpunkte (Massenmittelpunkte) auf derselben Achse befinden – siehe Herleitung der Formeln für einen Hohlzylinder im folgenden Abschnitt. Liegen die Schwerpunkte von zwei Teilkörpern jedoch auf zu einander parallelen Achsen, wird das gesamte Massenträgheitsmoment J B bezüglich der betrachteten Achse mit dem Satz von Steiner berechnet: $$J_B = J + m · d^2$$ Erklärung der Variablen: J Massenträgheitsmoment eines Teilkörpers bezüglich einer Achse durch dessen Schwerpunkt.
Es handelt sich bei dem obigen Stab um ein physikalisches Pendel, wenn die Auslenkung $\varphi$ sehr klein ist. Wird nun der Stab um den Winkel $\varphi$ nach links ausgelenkt (in Richtung der positiven $y$-Achse), so sorgt die rücktreibende Kraft $F_R$ dafür, dass das Pendel wieder in Richtung der Ruhelage schwingt (und darüber hinaus). Die rücktreibende Kraft ist der Auslenkung entgegengesetzt: Rücktreibende Kraft beim physikalischen Pendel Bei der rücktreibenden Kraft $F_R$ handelt sich dabei um eine Komponente der Gewichtskraft $F_G$. Diese greift im Schwerpunkt $S$ an und bewirkt ein Drehmoment bezüglich des Drehpunktes. (Hohl)Zylinder - Trägheitsmoment - Herleitung. Die Komponente $F_A$ wird durch die Aufhängung kompensiert. Methode Hier klicken zum Ausklappen $F_R = -F_G \sin(\varphi)$ Rücktreibende Kraft Diese greift im Schwerpunkt $S$ an und bewirkt ein Drehmoment bezüglich des Drehpunktes: Methode Hier klicken zum Ausklappen $M = F_R \cdot s = -F_G \sin(\varphi) \cdot s$ Drehmoment Es muss unbedingt darauf geachtet werden, dass $s$ der senkrechte Abstand von der Kraft $F_R$ zum Bezugspunkt darstellt.
Die obige Gleichung wird dann angewandt, wenn der Drehpunkt nicht mit dem Schwerpunkt zusammenfällt (wie in der obigen Grafik zu sehen). Sollte das Trägheitsmoment $J_S$ in Bezug auf den Schwerpunkt nicht gegeben sein, so kann man dieses experimentell bestimmen: Methode Hier klicken zum Ausklappen $ J_S = m \cdot l^2 (\frac{g \cdot T^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot l} - 1)$ mit $l$ Abstand von Drehpunkt zum Schwerpunkt des Körpers $m$ Masse des Körpers $g$ Fallbeschleunigung mit $g = 9, 81 \frac{m}{s^2}$ $T$ Schwingungsdauer Mit dieser Gleichung ist es möglich das Trägheitsmoment $J_S$ in Bezug auf den Schwerpunkt experimentell zu bestimmen. Trägheitsmoment Zylinder, quer. Liegt nun aber der Drehpunkt nicht im Schwerpunkt des Körpers, so muss zusätzlich der Satz von Steiner angewandt werden. Schwingungsdauer Setzen wir nun in die Eigenfrequenz $\omega = \frac{2\pi}{T}$ ein, dann erhalten wir: $\frac{2\pi}{T}= \sqrt{ \frac{l \cdot m \cdot g}{J}}$ Aufgelöst nach der Schwingungsdauer $T$ ergibt: Methode Hier klicken zum Ausklappen $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{J}{l \cdot m \cdot g}}$$ Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels Die Schwingungsdauer gibt die benötigte Zeit für eine gesamte Schwingung an.
7: Quader Analog gilt und Für einen Würfel () findet man M. Keim, H. J. Lüdde
Damit wird 10 zu: Masse des Zylinders mit Radien ausgedrückt Anker zu dieser Formel Damit können wir jetzt die Zylindermasse 11 in die Gleichung 9 für das Trägheitsmoment einsetzen. Stelle als erstes Gl. 11 nach \(\left( r_{\text e}^2 - r_{\text i}^2 \right)\) um und setze das Ergebnis in Gl. 9 ein: Das ist das gesuchte Trägheitsmoment \(I\) ausgedrückt mit den gegebenen Größen. Aus der Formel für das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders können wir auch das Trägheitsmoment eines ausgefüllten Zylinders (Vollzylinder) leicht bestimmen. Im Fall eines Vollzylinders ist der Innenradius \( r_{\text i} = 0 \). Illustration: Vollzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert. Da wir dann nur einen Radius in der Formel haben, können wir zur Verschönerung der Formel statt \( r_{\text e} \) kurz \( r \) schreiben. Das \(r\) ist dann der Radius des Vollzylinders. Dann bekommen wir: