In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Exponentialfunktionen sind. Erforderliches Vorwissen Was ist eine Funktion? Bestandteile Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge. Funktionsgleichung Im Unterschied zu Potenzfunktionen (z. B. $y = x^2$), bei denen die Variable in der Basis ist, steht bei Exponentialfunktionen (z. B. $y = 2^x$) die Variable im Exponenten. Wegen $y = f(x)$ schreibt man auch häufig $f(x) = a^x$. Warum darf die Basis nicht gleich $1$ sein? Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen | InstantMathe. Laut den Potenzgesetzen gilt: $1^x = 1$. Für $a = 1$ wird die Exponentialfunktion zu einer konstanten Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x) = 1^x = 1$: $$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{y} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} $$ Die obige Wertetabelle zeigt, dass der $y$ -Wert der Funktion $f(x) = 1^x$ immer $1$ ist. Der Graph der Funktion $f(x) = 1^x$ ist eine Parallele zur $x$ -Achse. Warum darf die Basis nicht negativ sein? Beispiel 1 Die Funktion $f(x) = (-2)^x$ würde für $x = \frac{1}{2}$ zu dem Funktionwert $y = (-2)^{\frac{1}{2}}$ führen.
1k Aufrufe Aufgabe: Begründen Sie, dass die Parabel p genau einen Schnittpunkt mit dem Graph f hat. p(x) = (x-3)^2+2 f(x) = 2·1, 5^x Gefragt 18 Apr 2020 von 3 Antworten p(x) = (x - 3)^2 + 2 f(x) = 2·1. 5^x d(x) = f(x) - p(x) Wenn p(x) und f(x) einen Schnittpunkt haben dann hat d(x) eine Nullstelle. Es geht also um die Anzahl der Nullstellen der Funktion d(x) Im Intervall]-∞; 3] ist p(x) streng monoton fallend und f(x) streng monoton steigend und damit ist d(x) auch streng monoton steigend. lim (x → -∞) d(x) = -∞; d(3) = 4. 75 Damit muss es in diesem Intervall genau einen Schnittpunkt geben. Im Intervall [3; ∞[ ist es etwas schwieriger. Betrachten wir hier aber mal das Verhalten der Steigung mit der 2. Ableitung. d'(3) = 2. 737; lim (x → ∞) d'(x) = ∞ d''(x) = 2·LN(1. 5)^2·1. 5^x - 2 = 0 --> x = LN(1/LN(1. 5)^2)/LN(1. 5) = 4. 453 d'(4. Achsenschnittpunkte Exponentialgleichungen rechnen • 123mathe. 453) = 2. 027 Man hat also eine kleinste Steigung von ca. 2. 027 Damit ist die Funktion im gesamten Bereich streng monoton steigend und damit kann d(x) im Intervall [3; ∞[ keine weitere Nullstelle besitzen.
Lesezeit: 5 min 1. Besondere Punkte Werte an der Stelle 0: Der y-Wert an der Stelle x = 0 ist stets y = 1. Der Grund hierfür: f(x) = a x | x = 0 f(0) = a 0 f(0) = 1 Dies gilt für jede Exponentialfunktion. Damit ist der Punkt S(0|1) für jede Exponentialfunktion "gemeinsamer Punkt". Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist immer der Punkt S(0|1). ~plot~ 2^x;3^x;4^x;5^x;1;zoom[ [-2|3|-2|6]] ~plot~ Werte an der Stelle 1: f(x) = a x | x=1 f(1) = a 1 f(1) = a Dies gilt für jede Exponentialfunktion. Damit gilt Punkt P(1|a) für jede Exponentialfunktion. Wenn wir wissen wollen, welche Basis die Exponentialfunktion hat, können wir dies bei x = 1 tun. ~plot~ 2^x;3^x;4^x;5^x;x=1;zoom[ [-3|4|-5|6]] ~plot~ 2. Definitionsbereich Definitionsbereich: x ∈ R Wertebereich: y kann nie negativ werden, da a x bei a > 1 nie negativ wird. Auch wenn x negativ ist, zum Beispiel a -4 erhalten wir einen positiven Wert mit \( \frac{1}{a^4} \). 3. Monotonie Streng monoton steigend, wenn a > 1 ~plot~ 2^x ~plot~ Streng monoton fallend, wenn 0 < a < 1 ~plot~ 0.
Exponentialfunktion Rechner Mit dem Online Rechner von Simplexy kannst du viele Matheaufgaben lösen und gleichzeitig den Lösungsweg erhalten. Grundlagen der Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion ist wie der Name bereits sagt, eine Funktion bei dem der Exponent eine besondere Rolle einnimmt. In dem Beitrag zu den Potenzfunktionen lernst du wie man mit Funktionen der Form \(f(x)=x^n\) umgeht, hier ist der Exponent \(n\) eine Konstante und die Variable \(x\) ist die Basis. Bei der Exponentialfunktion liegt die Besonderheit hingegen darin, dass die Variable \(x\) im Exponenten steht. Beispiele dafür sind: Beispiel: Eigenschaften der Exponentialfunktion Die allgemeine Funktionsgleichung der Exponentialfunktion sieht wie folgt aus: \(f(x)=a^x\) Die Variable \(x\) steht im Exponenten und \(a\) ist eine Konstante die man Basis nennt. Die Basis \(a\) muss eine positive reelle Zahl sein. Bei den Exponentialfunktionen unterscheidet man zwischen zwei Arten: Exponentialfunktionen mit \(a\gt 1\) Exponentialfunktionen mit \(0\lt a\lt 1\) Ist die Basis der Exponentialfunktion größer als \(1\), dann ist die Funktion streng monoton wachsend.
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