Falls eine beliebige Zahl der Gestalt ist, lautet unsere Regel: Oder, gemäß der Tatsache, dass: Zum Schluß sei noch - um Verwechslungen auszuschließen - erwähnt, dass sich der Ausdruck nicht weiter vereinfachen läßt. Ergänzungen Beim Rechnen mit Logarithmen können recht komplizierte Ausdrücke auftreten, die sich aber teilweise erheblich vereinfachen lassen. Dabei wird Ihnen folgende Beziehung eine große Hilfe sein: Diese Gleichung ist eigentlich nichts anderes als Anwendungen der Definition 2 und der Regel 1: wird als Potenz von 10 geschrieben: ist der Logarithmus von: Dies wird in die Potenzdarstellung aus Schritt 1 eingesetzt: Wir erhalten also allgemein: Regel 6: Übung:
(4) Logarithmen mit verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor voneinander. Mit (1) erhalten wir den Spezialfall: log a b = 1 log b a \log_a b = \dfrac{1}{\log_b a} bzw. log a b ⋅ log b a = 1 \log_a b \cdot \log_b a=1. Beispiel Steht auf dem verwendeten Taschenrechner nur der natürliche Logarithmus zur Basis e \e zur Verfügung, so lässt sich mit (4) einfach der Logarithmus zu einer anderen Basis berechnen: log 8 10 = ln 10 ln 8 \log_{8} 10 = \dfrac{\ln 10}{\ln 8} ≈ 2, 302585092994 2, 079441541679 \approx\dfrac {2{, }302585092994} { 2{, }079441541679} ≈ 1, 1073093649 \approx 1{, }1073093649. Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können. Logarithmusgesetze | Mathebibel. Andre Weil Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden. Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld • Dοrfplatz 25 • 17237 Blankеnsее • Tel.
Im folgenden gelte x, y, x i, r, a, b > 0 x, y, x_i, r, a, b> 0 und ferner a, b ≠ 1 a, b\neq 1. Konstanten Es gilt stets log b ( 1) = 0 \log_b(1)=0 und log b ( b) = 1 \log_b(b)=1. (1) Produkte log b ( x ⋅ y) = log b x + log b y \log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y, (2) bzw. für beliebig viele Faktoren: log b ( x 1 x 2 ⋯ x n) = log b x 1 + log b x 2 + ⋯ + log b x n \log_b(x_1 x_2 \cdots x_n) = \log_b x_1 + \log_b x_2 + \dots + \log_b x_n oder mittels Produkt- und Summenzeichen: log b ∏ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n log b x i \log_b\prod\limits_{i=1}^n x_i = \sum\limits_{i=1}^n \log_b x_i\,. Quotienten Es gilt log b 1 y = − log b y \log_b \frac 1 y=-\log_b y. Harmonische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. Fasst man Quotienten als Produkte mit dem Faktor y − 1 y^\me auf ergibt sich der Logarithmus eines Quotienten als Differenz der Logarithmen von Dividend und Divisor: log b x y = log b x − log b y \log_b \dfrac xy = \log_b x - \log_b y. Summen und Differenzen Weniger gebräuchlich ist die folgende Formel für Summen (bzw. Differenzen), die man aus Formel (2) herleiten kann, indem man x x ausklammert: x ± y = x ( 1 ± y x) x\pm y = x \left(1\pm \dfrac yx\right)\,, also: log b ( x ± y) = log b x + log b ( 1 ± y x) \log_b (x \pm y) = \log_b x + \log_b \left(1 \pm \dfrac yx\right)\,.
Tatsächlich gilt Es gilt sogar noch mehr: Die Differenz strebt gegen eine feste Zahl: Im Kapitel zur Logarithmusfunktion werden wir diese Grenzwerte beweisen. Diese Zahl ist die sogenannte Euler-Mascheroni-Konstante. Sie wurde zum ersten Mal vom Mathematiker Leonhard Euler 1734 verwendet [1]. Bislang konnte nicht bewiesen werden, ob diese Zahl rational oder irrational ist. Niemand weiß es! Alternierende harmonische Reihe [ Bearbeiten] Definition (alternierende harmonische Reihe) Die alternierende harmonische Reihe ist die Reihe Konvergenz [ Bearbeiten] Die Partialsummen der alternierenden harmonischen Reihe Da diese Reihe alternierend ist, d. die Summanden abwechselnd positives und negatives Vorzeichen haben, nehmen die Partialsummen der Reihe nicht beliebig zu, sondern konvergieren gegen einen festen Wert. Wir zeigen zunächst, dass die Reihe konvergiert, um danach den Grenzwert genauer zu untersuchen. Satz (Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe) Die alternierende harmonische Reihe konvergiert.
Das hat zum einen historische Gründe: [4] In den USA war bis 1923 als Einheit für das Dämpfungsmaß einer Fernsprechverbindung die Hilfsmaßeinheit "Mile Standard Cable" (m. s. c. ) in Verwendung. Diese Einheit entspricht dem Dämpfungsmaß eines bestimmten Kabeltyps ("19 gauge ") bei einer Länge von einer englischen Meile und einer Frequenz von 800 Hz und gleichzeitig der mittleren subjektiven Wahrnehmbarkeitsschwelle beim Vergleich von zwei Lautstärken. Letzteres trifft ebenfalls für das Dezibel zu. Deshalb ergaben sich bei Verwendung des Dezibels in etwa die gleichen Zahlenwerte wie bei Verwendung von "Mile Standard Cable" (1 m. = 0, 9221 dB). Ein weiterer Grund für die bevorzugte Verwendung des Dezibels ist, dass sich einfach fassbare Zahlenwerte ergeben. So ist z. B. die Verdopplung der Leistung als Leistungsgröße eine Änderung von etwa 3 dB und die Verzehnfachung eine Änderung von 10 dB. Dagegen ist jedoch z. B. die Verdopplung der Spannung bzw. des Schalldrucks als Feldgröße eine Änderung von etwa 6 dB und die Verzehnfachung eine Änderung von 20 dB.
Wir betrachten nun die harmonische Reihe. Wir werden zunächst deren Konvergenz- bzw. Divergenzverhalten untersuchen. Anschließend beschäftigen wir uns mit dem asymptotischen Wachstumsverhalten der Reihe. Außerdem werden wir einige Varianten der Reihe, wie die alternierende harmonische Reihe und die verallgemeinerte harmonische Reihe untersuchen. Vorüberlegung zur Monotonie und Beschränktheit [ Bearbeiten] In der untenstehenden Grafik sind die ersten Partialsummen dieser Reihe aufgetragen. Ist die Folge der Partialsummen beschränkt? Durch die Grafik lässt sich diese Frage nicht eindeutig beantworten. Der Anstieg der Partialsummen, d. h. die Differenz zwischen und wird für größer werdende immer kleiner. Dennoch ist nicht klar, ob wir eine Zahl finden können, so dass für alle gilt. Eine andere Frage ist, ob die Reihe konvergiert, d. ob die Folge der Partialsummen gegen eine reelle Zahl konvergiert. Die Folge der Partialsummen ist streng monoton steigend: Für alle gilt Wir wissen, dass monotone Folgen genau dann konvergieren, wenn sie beschränkt sind.
Verwendung mit anderen Maßeinheiten, Zusätze [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wie jede andere Maßeinheit kann das Bel bzw. Dezibel zusammen mit anderen Maßeinheiten verwendet werden, wenn damit eine Größe beschrieben wird, bei der ein Pegel oder Maß durch Multiplikation oder Division mit einer anderen Größe verknüpft wird. Beispiele dafür sind das Dämpfungsmaß einer Leitung in Dezibel pro Meter (dB/m) oder der bezogene Schallleistungspegel einer ausgedehnten Schallquelle in Dezibel pro Quadratmeter (dB/m 2). Nach den für Größen geltenden Rechenregeln ist es zwar nicht korrekt, Zusätze an eine Einheit anzubringen, um Informationen über die Art der betrachteten Größe mitzuteilen, doch sind solche Zusätze beim Dezibel z. B. in den Empfehlungen der ITU [6] [7] noch gebräuchlich. Wegen der Eindeutigkeit und der möglichen Verwechslungsgefahr mit Einheitenprodukten (z. B. dB·m statt dBm) sind nach den Festlegungen in DIN, IEC und ISO - Normen diese Informationen stets mit der Größe und nicht mit der Einheit zu verknüpfen.