Komplanarität von Punkten Punkte bezeichnet man als komplanar, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen. Drei (verschiedene) Punkte des Raumes liegen stets in einer gemeinsamen Ebene. Durch sie wird auch eine Ebene eindeutig bestimmt, sofern die Punkte nicht kollinear sind. Durch drei kollineare Punkte wird keine Ebene, sondern nur eine Gerade beschrieben.
Beispiel 2 ⇒gleichzeitig erfüllbar Die beiden Vektoren sind kollinear (linear abhängig)! Beachte ♦Drei linear abhängige Vektoren können untereinander parallel sein (paarweise linear abhängig) (mit 2 oder 3 Vektoren). Oder sie liegen wegen des geschlossenen Vektordreiecks in einer gemeinsamen Ebene: Komplanarität. Kollinearität eines Vektors ⇒ in diesem Lernvideo!. ♦Genau dann, wenn die Vektoren linear abhängig sind, lässt sich einer von ihnen (mit Koeffizienten ≠ 0) durch eine Linearkombination der restlichen Vektoren ausdrücken.
Hier nun die Formel... ; Argumente: 2 dreikomponentige Vektoren; Rückgabe: Vektor (Vektorprodukt) ( defun:M-VectorProduct (#v1 #v2) ( list ( - ( * ( cadr #v1) ( caddr #v2)) ( * ( caddr #v1) ( cadr #v2))) ( - ( * ( caddr #v1) ( car #v2)) ( * ( car #v1) ( caddr #v2))) ( - ( * ( car #v1) ( cadr #v2)) ( * ( cadr #v1) ( car #v2))))) 3. Schritt - Funktion zur Ermittlung von kollinearen Punkten Das ist nun keine große Kunst mehr. ; Argumente: 3 3D-Punkte; Rückgabe: True= kollinear, sonst nil ( defun:M-Collinear (#p1 #p2 #p3 /) ( equal '( 0. 0) (:M-VectorProduct (:M-GetVector #p1 #p2) (:M-GetVector #p1 #p3)) 1. 0e-010)) Falls 3 Punkte auf einer Geraden liegen gibt die Funktion ein True zurück, ansonsten nil. Durch equal können wir einen Genauigkeitswert vergeben. Hier in unserer Funktion enspricht 1. Kollinear vektoren überprüfen sie. 0e-010 = 0. 0000000001 Beispiel: (:M-Collinear '(0. 0) '(3. 15 0. 0) '(2. 0)) => T Zum Schluss überlegen wir, wie wir aus einer Liste mit Punktkoordinaten prüfen können, ob alle Punkte zueinander Kollinear sind.
Für einen einfachen Fall von drei Punkten in einem 2D Raum und mit der Matrix Kann man diese Technik anwenden, um das maximum der 3 Minor auf Nullen zu überprüfen (man kann damit aufhören, sobald man nicht-Null Minor findet) Oder man kann die äquivalente Definition von Kollinearität von der englischen Wikipedia Seite verwenden: Wenn die Matrix für jede Teilemenge der drei Punkte X = (x1, x2,..., xn), Y = (y1, y2,..., yn), and Z = (z1, z2,..., zn) Rang 2 oder niedriger ist, sind die Punkte kollinear. Im Fall einer Matrix von drei Punkten in einem 2D Raum sind sie nur kollinear, und nur dann, wenn die Determinante der Matrix Null ist.
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