Chinesischer Restsatz: Beweis Zunächst einmal soll die Existenz einer Lösung der simultanen Kongruenz gezeigt werden. Hierzu wird mit das Produkt der paarweise teilerfremden Moduln definiert. Weiter wird definiert. Aufgrund der Teilerfremdheit der Moduln gilt: Das heißt, es können beispielsweise mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus ganze Zahlen und gefunden werden, sodass gilt: Es gilt demzufolge für: Eine Lösung der simultanen Kongruenz ist dann durch gegeben. Nun soll gezeigt werden, dass diese Lösung eindeutig modulo ist. Dazu wird zunächst angenommen, dass y eine weitere Lösung sei. Chinesischer restsatz rechner grand rapids mi. Dann gilt: Allerdings gilt auch weiterhin Daher muss also kongruent zu modulo sein. Es gilt also: Das wiederum bedeutet nichts anderes, als dass jedes die Differenz zwischen und teilt: Da die Moduln paarweise teilerfremd sind, teilt auch deren Produkt die Differenz zwischen und: Das heißt die weitere Lösung der simultanen Kongruenz ist kongruent zur Lösung modulo: Chinesischer Restsatz: Nicht teilerfremde Moduln Für den Fall, dass die Moduln nicht teilerfremd sind, gibt es unter der Voraussetzung, dass für alle gilt: auch eine Lösung der simultanen Kongruenz.
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Die genaue Bedingung [3] lautet: Eine Lösung der simultanen Kongruenz existiert genau dann, wenn für alle gilt:, wobei für den größten gemeinsamen Teiler von und steht. Alle Lösungen sind dann kongruent modulo dem der. Eine simultane Kongruenz lässt sich im Falle der Existenz einer Lösung z. B. durch sukzessive Substitution lösen, auch wenn die Moduln nicht teilerfremd sind. Ein klassisches Rätsel besteht darin, die kleinste natürliche Zahl zu finden, die bei Division durch 2, 3, 4, 5 und 6 jeweils den Rest 1 lässt, und durch 7 teilbar ist. Gesucht ist also die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenz Da die Moduln nicht teilerfremd sind, kann man nicht direkt den chinesischen Restsatz (mit Lösungsverfahren) anwenden. Berechnen Sie mit Chinesischem Restsatz 2^413 mod 225 | Mathelounge. Man kann aber die ersten fünf Bedingungen zusammenfassen zu, d. h. zu finden ist eine Lösung von Dieses Kongruenzsystem ist nun mit dem chinesischen Restsatz lösbar. Die Lösungen sind kongruent zu 301 modulo 420. Direktes Lösen von simultanen Kongruenzen ganzer Zahlen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Gegeben sind die beiden simultanen Kongruenzen: Wenn diese lösbar sind, das heißt, so sind sie äquivalent mit der einfachen Kongruenz: mit.
Autor Beitrag me Verffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 17:13: Hi, kann mir jemand das mit dem chinesischen Restsatz nochmal erklären? Bei unserem Prof habe ich den leider gar nicht verstanden. Schritt für Schritt und ausführlich für Doofe wär nett. Zaph (Zaph) Verffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 17:21: Am besten ein Beispiel. Gesucht ist eine Zahl x, die durch 5 geteilt den Rest 3, durch 12 geteilt den Rest 4 und durch 77 geteilt den Rest 20 lässt: x = 3 mod 5 x = 4 mod 12 x = 20 mod 77 Aus dem chinesische Restsatz folgt, dass es solch eine Zahl gibt, weil 5, 12 und 77 paarweise teilerfremd sind. Die kleinste positive Zahl mit den Eigenschaften ist kleiner als 5 * 12 * 77. Chinesischer Restsatz mit Polynomen | Mathelounge. Verffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 14:41: Und wie kann man die Schritt für Schritt berechnen? Verffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 21:21: Du fängst an, ein x zu bestimmen mit x = 3 mod 5 x = 4 mod 12 Es soll also gelten x = 5a + 3 x = 12b + 4 für gewisse a, b.
Aus m und n sowie den zugehrigen Resten a und b lsst sich dann nach dem oben angegebenen Verfahren die Lsung x berechnen. Die Funktion gibt auer dieser Lsung x auch den zugehrigen Modul m · n zurck. Es folgt die Implementierung in der Programmiersprache Python. ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe: Chinesischer Restsatz. Es wird wiederum von der Mglichkeit der Tupel-Wertzuweisung Gebrauch gemacht. Die Notation nn[:k] bezeichnet einen Ausschnitt ( slice) aus der Liste nn vom Beginn bis zum Index k (ausschlielich). In hnlicher Weise bezeichnet nn[k:] einen Ausschnitt vom Index k (einschlielich) bis zum Ende der Liste.
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