Mathematik 5. Klasse ‐ Abitur Unter dem Schnittwinkel \(\varphi\) zwischen einer Geraden g und einer Ebene E versteht man den nicht stumpfen Winkel zwischen dem Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene der senkrechten Projektion g E des Richtungsvektors \(\vec u\) der Geraden auf die Ebene. Dies ist also nicht der Winkel \(\psi\) zwischen \(\vec n\) und \(\vec u\), sondern es gilt \(\varphi = 90^\circ - \psi\) (siehe Abbildung). Dabei sind \(g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} (\lambda \in \mathbb{R})\) und \(E: \overrightarrow{n} \circ ( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{a}) = 0\) (mit dem Stützvektor bzw. Aufpunkt \(\vec a\)) und " \(\circ\) " bezeichnet das Skalarprodukt zwischen \(\vec u\) und \(\vec n\). Schnittpunkt zwischen gerade und ebene restaurant. Achtung: Wenn die Ebenengleichung nicht in Normalenform vorliegt, muss man sie zunächst entsprechend umwandeln.
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Komm in unseren Mathe-Intensivkurs! Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 2022 - 13:53:01 Uhr
Man unterscheidet drei mögliche Lagebeziehungen zwischen einer Geraden $g$ und einer Ebene $E$.! Merke Um die Lagebeziehung herauszufinden, versucht man den Schnittpunkt zu berechnen. eindeutiger Schnittpunkt: $g$ und $E$ schneiden sich (ein Schnittpunkt) falsche Aussage (z. B. $0=5$): $g$ parallel zu $E$ (kein Schnittpunkt) wahre Aussage (z. Schnittpunkt Gerade und Ebene | Maths2Mind. $5=5$): $g$ liegt in $E$ (unendlich Schnittpunkte) i Tipp Am einfachsten ist die Lösung mit der Koordinatengleichung der Ebene. Wenn die Ebene in der Parameterform ist, müsste man ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und Variablen lösen, was aufgrund der Umständlichkeit vermieden werden sollte. Beispiel $\text{g:} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ $\text{E:} 2x+y+2z=-2$ Geradengleichung umschreiben Der Vektor $\vec{x}$ in der Geradengleichung wird ersetzt durch $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$. $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ Jede Zeile entspricht einer Gleichung $x=\color{red}{2+2r}$ $y=\color{blue}{1-3r}$ $z=\color{green}{1+4r}$ $x$, $y$, $z$ einsetzen Die einzelnen Gleichungen für $x$, $y$, $z$ können in die Koordinatengleichung der Ebene eingesetzt werden.
Durch diese Überlegung wird die Frage nach dem Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene auf das einfachere Problem des Schnittwinkels von zwei Geraden im Raum zurückgeführt. Hat die Ebene ε die Gleichung ε: x → = p → 0 + r u → + s v →, so ist n → = u → × v → ein Normalenvektor von ε. Gerade schneidet Ebene (Vektorrechnung) - rither.de. Ist die Gleichung von ε in der Koordinatenschreibweise, also a x + b y + c z + d = 0, angegeben, dann gilt n → = ( a b c). Unter Verwendung der Definitionsgleichung des Skalarprodukts lässt sich nun als Formel für die Berechnung des Schnittwinkels zwischen n → und g: x → = p → 1 + t a → angeben: cos α = | n → ⋅ a → | | n → | ⋅ | a → | = | ( u → × v →) ⋅ a → | | u → × v → | ⋅ | a → | Da ϕ = 90 ° − α ist, kann man auch schreiben: sin ϕ = | ( u → × v →) ⋅ a → | | u → × v → | ⋅ | a → | ( m i t 0 ° ≤ ϕ ≤ 90 °) Beispiel 1: Es ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden g: x → = ( 1 3 5) + t ( 3 2 1) und der xy-Ebene zu ermitteln. Da jeder Normalenvektor n → der xy-Ebene in z-Richtung weist, also z. B. die Gleichung n → = ( 0 0 1) besitzt, gilt für den gesuchten Schnittwinkel sin ϕ = | ( 0 0 1) ⋅ ( 3 2 1) | | ( 0 0 1) | ⋅ | ( 3 2 1) | = 1 1 ⋅ 14 = 14 14 ≈ 0, 2672 und damit ϕ ≈ 15, 5 °.
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