mir wurde gelernt, dass ln(x) gegen x->unendlich = -unendlich ist. Ich dachte aber, dass er +unendlich sein müsste...! Was stimmt, und warum? (oben die Grafik von f(x)=ln(x) wie sieht es denn dann bei -ln(x) aus?
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Ansonsten gibt es keine Lösung, oder man sagt, die Fläche besitzt keinen endlichen Flächeninhalt (nicht "Die Fläche besitzt unendlichen Flächeninhalt"! ). Analog zu oben, kann man das uneigentliche Integral auch für negative Grenzen bestimmen, oder Grenzen, bei denen der y-Wert gegen unendlich läuft. Ln von unendlich syndrome. Ein Beispiel wäre die Funktion f ( x) = 1 x f\left( x\right)=\frac1{\sqrt{ x}} im Intervall 0 bis 1. Bei 0 würde der y y -Wert unendlich. Mit einem uneigentlichen Integral lässt sich die Fläche berechnen: Ein anderes Resultat ergibt sich jedoch für ∫ 0 ∞ 1 x d x \int_0^\infty\frac1{\sqrt x}dx. In diesem Fall müssen beide Integralgrenzen separat als Limes betrachtet werden. Das Integral ∫ 1 ∞ x a d x \int_1^\infty x^a \mathrm{d}x In diesem Abschnitt wird das unbestimmte Integral ∫ 1 ∞ x a d x \int_1^\infty x^a \mathrm{d}x in Abhängigkeit einer rationalen Zahl a ∈ Q a\in\mathbb{Q} betrachtet: a < − 1 a<-1: Dabei benutzt man, dass a + 1 a+1 negativ ist. a = − 1 a=-1: Man verwendet: ( ln x) ′ = x − 1 (\ln\;x)'=x^{-1}.
Tatsächlich gilt Satz (Asymptotisches Verhalten der harmonischen Reihe) Die Folgen und konvergieren gegen denselben Grenzwert. Außerdem gilt. Diese Zahl ist die sogenannte Euler-Mascheroni-Konstante. Sie wurde zum ersten Mal vom Mathematiker Leonhard Euler 1734 verwendet [1]. Bislang konnte nicht bewiesen werden, ob diese Zahl rational oder irrational ist. Keiner weiß es! Warum wird ln(x) gegen 0 = -oo? (Mathe, unendlich). Beweis (Asymptotisches Verhalten der harmonischen Reihe) ' Beweisschritt: konvergiert. Es gilt Mit der -Ungleichung gilt zunächst Damit sind alle Summanden der Reihe nicht-negativ, und somit monoton steigend. Weiter gilt erneut mit der -Ungleichung: Damit ist Also ist nach oben beschränkt. Nach dem Monotoniekriterium konvergiert. Mit der Monotonieregel für Grenzwerte gilt für den Limes mit dem eben Gezeigten: Beweisschritt: konvergiert gegen denselben Grenzwert. Wir haben gerade gezeigt. Ist, so gilt weiter Mit den Grenzwertsätzen folgt damit Also konvergiert ebenfalls gegen. Beweisschritt:. Aus und folgt: Nun ist Damit folgt nun Der Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe [ Bearbeiten] Mit Hilfe der Folge können wir zeigen Satz (Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe) Es gilt Beweis (Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe) Aus dem bekannten Grenzwert für die Euler-Mascheroni-Konstante folgt für die Folge: Da jeder Teilfolge gegen denselben Grenzwert konvergiert, gilt ebenso Damit folgt Andererseits ist Zusammen erhalten wir Daraus folgt die Behauptung.
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